Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c\) thuộc đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\) sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} + 3{x^3} - 3\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Lại có: \(f\left( 0 \right) =  - 3;\,\,f\left( 1 \right) = 1  \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) =  - 3 < 0 \Rightarrow \) phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có 1 nghiệm duy nhất thuộc \(\left( {0;\,1} \right).\)

Mà \(f\left( x \right) \ge f\left( 1 \right)\,\,\forall \,\,x \in \left[ {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \) phương trình có nghiệm thuộc  \(\left( {0;1} \right)\),  còn trên các miền còn lại của đáp án B, C, D phương trình vô nghiệm.

Chọn A.