1. Công thức tính tích vô hướng của hai vecto trên mặt phẳng toạ độ
Cho \(\overrightarrow u (x;y)\) và \(\overrightarrow v = (x';y')\).
Khi đó \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = xx' + yy'\).
Hệ quả:
+) \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow xx' + yy' = 0\)
+) \({\overrightarrow u ^2} = \overrightarrow u .\overrightarrow u = x.x + y.y = {x^2} + {y^2}\).
+) Tìm góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\).
2. Tính chất của tích vô hướng
Cho 3 vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) bất kì và mọi số thực k, ta có:
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \overrightarrow v .\overrightarrow u \);
\(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w \);
\(\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k.\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u .\left( {k\overrightarrow v } \right)\).
Hệ quả:
\(\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}\);
\((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2 + 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2\);
\((\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2 - 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2\);
\((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}^2 - \overrightarrow{v}^2\).
3. Ví dụ minh hoạ về tính tích vô hướng của hai vecto trên mặt phẳng toạ độ
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính tích vô hướng của các cặp vecto sau:
a) \(\vec u = (2; - 3)\) và \(\vec v = (5;3)\);
b) Hai vecto đơn vị \(\vec i\) và \(\vec j\) tương ứng của các trục Ox, Oy.
Giải:
a) Ta có: \(\vec u.\vec v = 2.5 + ( - 3).3 = 10 - 9 = 1\).
b) Vì \(\vec i = (1;0)\) và \(\vec j = (0;1)\) nên \(\vec i.\vec j = 1.0 + 0.1 = 0\).
2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; -1), C(8; 0).
a) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).
b) Chứng minh \(AB \bot AC\).
Giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\), \(\overrightarrow {BC} = (7;1)\). Do đó \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.7 + 3.1 = 10\).
b) Do \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 3)\) và \(\overrightarrow {AC} = (6; - 2)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = ( - 1).6 + ( - 3).( - 2) = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \).
