Phương trình đường thẳng - Từ điển môn Toán 10 1. Phương pháp lập phương trình đường cao của tam giác
Cho tam giác ABC có đường cao AH. Để lập phương trình đường cao AH, ta thực hiện:
B1: Tìm toạ độ \(\overrightarrow {BC} = (a;b)\) là vecto pháp tuyến của AH.
B2: Lập phương trình AH đi qua \(A({x_A};{y_A})\), nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm vecto pháp tuyến:
- Phương trình tổng quát: \(a(x - {x_A}) + b(y - {y_A}) = 0\).
- Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} - bt\\y = {y_A} + at\end{array} \right.\).
2. Ví dụ minh hoạ lập phương trình đường cao của tam giác
1) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1). Lập phương trình đường cao kẻ từ A.
Giải:
Gọi đường cao cần tìm là AH. Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là đường thẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 1} \right)\) nên phương trình tổng quát của đường cao đó là: \( - 5\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow -5x - y + 7 = 0\). Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\).
2) Cho tam giác ABC có A(2; 1), B(0; 3), C(-2; -2). Lập phương trình đường cao kẻ từ B.
Giải:
Gọi đường cao cần tìm là BK. Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là đường thẳng đi qua B và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AC} = (-4; -3)$ nên phương trình đường cao đó là: $-4(x-0) - 3(y-3) = 0 \Leftrightarrow -4x - 3y + 9 = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 9 = 0$. Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 3 - 4t\end{array} \right.\).
3) Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(5; 2), C(3; -3). Lập phương trình đường cao kẻ từ C.
Giải:
Gọi đường cao cần tìm là CI. Đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là đường thẳng đi qua C và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB} = (4; 1)$ nên phương trình đường cao đó là: $4(x-3) + 1(y+3) = 0 \Leftrightarrow 4x + y - 12 + 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + y - 9 = 0$. Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = -3 - 4t\end{array} \right.\)
