Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $\dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}$. Tính khoảng cách \(d\) từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ .
-
A.
$d = \dfrac{a}{4}.$
-
B.
$d = \dfrac{{3a}}{4}.$
-
C.
$d = \dfrac{3}{4}.$
-
D.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\).
Do hình chóp $S.ABC$ đều nên suy ra \(SO \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm \(BC\) ta có:
$\begin{array}{l}AO \cap \left( {SBC} \right) = E \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AE}}{{OE}} = 3\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 3.d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right).\end{array}$
Trong $(SAE)$ kẻ \(OK \bot SE\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AE\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot OK\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK\)
Tính được $SO = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\dfrac{2}{3}AE} \right)}^2}} = \sqrt {\dfrac{{21{a^2}}}{{36}} - {{\left( {\dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{a}{2}$ và \(OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)
Tam giác vuông \(SOE\), có \(OK = \dfrac{{SO.OE}}{{\sqrt {S{O^2} + O{E^2}} }} = \dfrac{a}{4}\).
Vậy $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 3OK = \dfrac{{3a}}{4}$.
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cạnh $BC = a,\,\,AC = 2a\sqrt 2 $, góc $\widehat {ACB} = {45^0}$. Cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$ Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC).$
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có $AB = a\sqrt 2 $. Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(AD = a,\) \(AB = 2a,\) \(BC = 3a,\) \(SA = 2a\), \(H\) là trung điểm cạnh \(AB\), \(SH\) là đường cao của hình chóp \(S.ABCD\). Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SB$ hợp với mặt đáy một góc $60^\circ $. Tính khoảng cách \(d\) từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right).\) Tính khoảng cách \(d\) từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right).\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$; góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Tính khoảng cách \(d\) từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SMC} \right)$.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA = a\sqrt 3 $ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,{\rm{ }}AC = a\sqrt 3 $. Tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách $d$ từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng $2a$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $1$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến $\left( {SCD} \right)$.
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $1$, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc ${60^0}$. Tính khoảng cách \(d\) từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
Cho hình chóp \(S.ACBD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = AB = BC = 1\), \(AD = 2\). Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), $AD = 2BC,$ $AB = BC = a\sqrt 3 $. Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(E\) là trung điểm của cạnh \(SC\). Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(E\) đến mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,{\rm{ }}AD = 2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc giữa \(SD\) với đáy bằng \({60^0}.\) Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) theo \(a\).
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AC = 2a,{\rm{ }}BC = a$. Đỉnh $S$ cách
đều các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$. Tính khoảng cách \(d\) từ trung điểm $M$ của $SC$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\). Tam giác \(ABC\) đều, hình chiếu vuông góc \(H\) của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\). Đường thẳng \(SD\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) góc \({30^0}\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) theo \(a\).
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là điểm $H$ trùng với trung điểm của $AB$, biết $SH = a\sqrt 3 $. Gọi $M$ là giao điểm của $HD$ và $AC$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.
Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AB = a$ và $AD = x.a$. Gọi $E$ là trung điểm của $SC$. Tìm $x$, biết khoảng cách từ điểm $E$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $h = \dfrac{a}{3}$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $BC = a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $\widehat {SCA} = \widehat {BSC} = {30^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$.
Cho hình lập phương \(ABCD,{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có cạnh bằng 3a. Khoảng cách từ \({A^\prime }\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) bằng
