Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$; góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Tính khoảng cách \(d\) từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SMC} \right)$.

\({60^0} = \widehat {\left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right)} \)

\(= \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA};\)

\(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a.\sqrt 3  = a\sqrt 3 .\)

Do $M$ là trung điểm của cạnh $AB$ nên \(d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right)\).

Trong $(SAB)$ kẻ \(AK \bot SM\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\CM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CM \bot AK\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SCM} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right) = AK.\)

Tam giác vuông \(SAM\), có \(AK = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).