Cho góc nhọn \(xOy.\) Điểm H nằm trên tia phân giác của góc \(xOy.\) Hạ \(HA \,\bot \,{\rm{Ox,}}\,{\rm{HB}} \,\bot \,{\rm{Oy}}\) \(\left( {A \in {\rm{Ox}},\,B \in Oy} \right)\). Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OH.

Vì \(H\) nằm trên tia phân giác của góc \(xOy\)

mà \(HA \,\bot \,{\rm{Ox,}}\,{\rm{HB}} \,\bot \,{\rm{Oy}}\) nên ta có:

\(HA = HB\) (tính chất các điểm thuộc tia phân giác)

suy ra \(\Delta HAB\) cân tại \(H\).

Xét hai tam giác vuông \(HBO\) và \(HAO\) ta có:

Cạnh huyền \(OH\,chung\)

Góc nhọn \({O_1} = {O_2}\)

suy ra \(\Delta HBO = \Delta HAO\,\) (cạnh huyền-góc nhọn)

Do đó: \(OA = OB\) (cạnh tương ứng)

Xét tam giác \(OAB\) cân tại O do \(OA = OB\) (cmt)

Mà \(AD \bot BO\) nên \(AD\) là đường cao.

C nằm trên tia phân giác góc O. Hay OC là đường phân giác góc O.

Trong một tam giác cân đường phân giác cũng chính là đường cao.

Mặt khác CO giao với AD tại C.

Suy ra \(C\) là trực tâm của tam giác OAB.

Do đó BC là đường cao.

Hay \(BC \bot OA\) hay \(BC \bot {\rm{Ox}}\)

Gọi N là trung điểm của OA, khi đó trong tam giác vuông AOD (vuông tại D)

Khi đó \(D{\rm N} = O{\rm N} = \dfrac{{OA}}{2}\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Do đó \(\Delta {\rm N}OD\) cân tại N  (1)

Mặt khác \(\widehat {AOD} = \widehat {xOy} = {60^0}\)  (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\Delta {\rm N}OD\) là tam giác đều.

Do đó \(OD = O{\rm N}\) mà \(O{\rm N} = \dfrac{1}{2}OA\)

Nên \(OD = \dfrac{1}{2}OA\,\,hay\,\,OA = 2OD\).