Cho hai số thực \(x,\,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10} = \sqrt {6 + 4x - {x^2}} \). Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - a} \right|\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 10;\,10} \right]\) của tham số \(a\) để \(M \ge 2m\)?
-
A.
\(17\).
-
B.
\(16\).
-
C.
\(15\).
-
D.
\(18\).
Biến đổi đẳng thức đã cho để đưa về dạng phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\) bán kính \(R\).
Từ đó ta đưa bài toán về dạng bài tìm \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) để \(\left| {OM - a} \right|\) lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Xét các trường hợp xảy ra để tìm \(a.\)
Ta có \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10} = \sqrt {6 + 4x - {x^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10} - \sqrt {6 + 4x - {x^2}} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \dfrac{{\left( {\sqrt {{y^2} + 6y + 10} - \sqrt {6 + 4x - {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \dfrac{{{y^2} + 6y + 10 - 6 - 4x + {x^2}}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 = 0\) (vì \(1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10} + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} > 0\) )
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\)
Phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) là phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)
Gọi \(N\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) ta suy ra \(ON = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) suy ra \(T = \left| {ON - a} \right|\)
Gọi \(A,B\) là giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(OI\).
Khi đó \(OA = OI - R = \sqrt {13} - 3\) và \(OB = OI + R = \sqrt {13} + 3\)
Suy ra \(\sqrt {13} - 3 \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le \sqrt {13} + 3\)
TH1: Nếu \(\sqrt {13} - 3 \le a \le \sqrt {13} + 3\) thì \(\left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - a} \right| \ge 0 \Rightarrow \min T = 0 \Rightarrow M \ge 2m \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
TH2: Nếu \(a < \sqrt {13} - 3 \Rightarrow a < \sqrt {13} \) nên \(\left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right| > \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\), do đó \(M = \left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right|;m = \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\)
Vì \(M \ge 2m \Rightarrow \left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right| \ge 2\left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13} + 3 - a} \right)^2} - {\left( {2\sqrt {13} - 6 - 2a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {13} - 9 \le a \le \sqrt {13} - 1 \Rightarrow a \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\)
TH3: Nếu \(a > \sqrt {13} + 3 \Rightarrow a > \sqrt {13} \) nên \(\left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right| < \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\), do đó \(m = \left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right|;M = \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right|\)
Vì \(M \ge 2m \Rightarrow \left| {\sqrt {13} - 3 - a} \right| \ge 2\left| {\sqrt {13} + 3 - a} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13} - 3 - a} \right)^2} - {\left( {2\sqrt {13} + 6 - 2a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {13} + 1 \le a \le \sqrt {13} + 9 \Rightarrow a \in \left\{ {7;8;9;10} \right\}\)
Vậy có 16 giá trị của \(a\) thỏa mãn đề bài.
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2x + \cos x$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ là :
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $R$, có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty $ , khi đó:
Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 1 + \dfrac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right)$. Tìm $m?$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^5} - 5{x^4} + 5{x^3} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$
Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( {\text{x}} \right) = \dfrac{{6 - 8{\text{x}}}}{{{x^2} + 1}}$ trên tập xác định của nó là:
Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = {x^4} + 2{x^2} - 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ lần lượt là $M$ và $m$. Khi đó giá trị của $M.m$ là:
Cho hàm số $y = x + \dfrac{1}{x}.$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ là:
Cho hàm số $y = \dfrac{{2mx + 1}}{{m - x}}.$ Giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ {2;3} \right]$ bằng $\dfrac{{ - 1}}{3}$ khi m bằng:
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 6$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $2$ khi:
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32.$ Giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$ là:
Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) để \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2\).
Cho \(f\left( x \right)\) mà đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên
Bất phương trình \(f\left( x \right) > \sin \dfrac{{\pi x}}{2} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\) khi và chỉ khi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).
