Cho các số thực \(x\),\(y\) thỏa mãn: \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 1 + xy\). Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 7\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + 4{x^2}{y^2}\) có tổng là
-
A.
\(\dfrac{{136}}{{33}}\).
-
B.
\(\dfrac{{68}}{{25}}\).
-
C.
Một đáp án khác.
-
D.
\(\dfrac{{2344}}{{825}}\).
- Biến đổi biểu thức \(P\) làm xuất hiện \({x^2} + {y^2}\)
- Thay \({x^2} + {y^2} = \dfrac{{1 + xy}}{2}\) biến đổi \(P\) về ẩn \(xy\)
- Tìm điều kiện của \(xy\) từ đẳng thức bài cho rồi đánh giá \(GTNN,GTLN\) của biểu thức vừa tìm được.
Ta có \(P = 7\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + 4{x^2}{y^2}\)
\( = 7\left[ {\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 2{x^2}{y^2}} \right] + 4{x^2}{y^2}\)
\( = 7\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 10{x^2}{y^2}\)
\( = \dfrac{7}{4}{\left[ {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]^2} - 10{x^2}{y^2}\)
\( = \dfrac{7}{4}{\left( {1 + xy} \right)^2} - 10{x^2}{y^2} = \dfrac{7}{4} + \dfrac{7}{2}xy - \dfrac{{33}}{4}{\left( {xy} \right)^2}\)
Theo giả thiết, \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 1 + xy \Rightarrow 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] = 1 + xy\)
\( \Rightarrow 5xy + 1 = 2{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow xy \ge - \dfrac{1}{5}\,\,\left( * \right)\)
Lại có \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge 4xy \Rightarrow 1 + xy \ge 4xy \Rightarrow xy \le \dfrac{1}{3}\,\,\left( {**} \right)\)
Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) suy ra \(xy \in \left[ { - \dfrac{1}{5};\dfrac{1}{3}} \right]\).
Đặt \(t = xy\), suy ra \(t \in \left[ { - \dfrac{1}{5};\dfrac{1}{3}} \right]\).
Khi đó \(P = - \dfrac{{33}}{4}{t^2} + \dfrac{7}{2}t + \dfrac{7}{4}\) với \(t \in \left[ { - \dfrac{1}{5};\dfrac{1}{3}} \right]\).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra GTLN của \(P\) là \(M = \dfrac{{70}}{{33}}\) và GTNN của \(P\) là \(m = \dfrac{{18}}{{25}}\).
Vậy \(M + m = \dfrac{{18}}{{25}} + \dfrac{{70}}{{33}} = \dfrac{{2344}}{{825}}\).
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^4} - 4{x^3} - {x^2} + 10x - 3$ trên đoạn $\left[ { - 1;4} \right]$ là
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là
Cho bất phương trình: \({x^2} + 2\left| {x + m} \right| + 2mx + 3{m^2} - 3m + 1 < 0\). Để bất phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số \(m\) là
Xác định \(m\) để phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0\) có ba nghiệm phân biệt lớn hơn \( - 1\).
Số nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 8 - 2\sqrt {x + 7} } = 2 - \sqrt {x + 1 - \sqrt {x + 7} } $ là
Tìm \(m\) để \(\left( {m + 1} \right){x^2} + mx + m < 0;\forall x \in \mathbb{R}\)?
Tập nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} + 4x + 3\sqrt {3 - 2x - {x^2}} > 1\) là
Tìm giá trị lớn nhất của \(m\) để bất phương trình \(3\left( {x - m} \right) \ge {m^2}\left( {5 - x} \right)\) thỏa với mọi \(x \ge 5\).
Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 8\) và \(AD = 6\). Trên đoạn \(AB\) lấy điểm \(E\) thỏa \(BE = 2\) và trên \(CD\) lấy điểm \(G\) thỏa \(CG = 6\). Người ta cần tìm một điểm \(F\) trên đoạn \(BC\) sao cho \(ABCD\) được chia làm hai phần màu trắng và màu xám như hình vẽ. Và diện tích phần màu xám bé hơn ba lần diện tích phần màu trắng. Điều kiện cần và đủ của điểm \(F\) là
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm \(I\) và \(II\). Mỗi sản phẩm \(I\) bán lãi \(500\) nghìn đồng, mỗi sản phẩm \(II\) bán lãi \(400\) nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm \(I\) thì Chiến phải làm việc trong \(3\) giờ, Bình phải làm việc trong \(1\) giờ. Để sản xuất được một sản phẩm \(II\) thì Chiến phải làm việc trong \(2\) giờ, Bình phải làm việc trong \(6\) giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá \(180\) giờ và Bình không thể làm việc quá \(220\) giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
Cho các số thực dương \(x\), \(y\), \(z\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xy + 2yz + zx}}\) là
Cho các số dương \(x\), \(y\), \(z\) thỏa mãn \(xyz = 1\). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P = \dfrac{{\sqrt {1 + {x^3} + {y^3}} }}{{xy}} + \dfrac{{\sqrt {1 + {y^3} + {z^3}} }}{{yz}} + \dfrac{{\sqrt {1 + {z^3} + {x^3}} }}{{zx}}\) là
