Để phương trình sau có \(4\) nghiệm phân biệt: \(\left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| = {x^2} - 5x + a\). Giá trị của tham số \(a\) là
-
A.
\(a \in \left( {1;\,10} \right)\).
-
B.
\(a = 1\).
-
C.
\(4 < a < \dfrac{{43}}{4}\).
-
D.
\(a \in \left[ {4;\,\dfrac{{45}}{4}} \right]\).
- Đặt \(t = {x^2} - 5x + a\) biến đổi phương trình về ẩn \(t\)
- Từ điều kiện có nghiệm của phương trình đầu suy ra điều kiện có nghiệm tương ứng của phương trình ẩn \(t\)
- Tìm điều kiện có nghiệm đó và kết luận.
Phương trình đã cho tương đương: \(2\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| = {x^2} - 5x + a\), \(\left( 1 \right)\).
Đặt \(t = {x^2} - 5x + a\).
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(2\left| {t + 4 - a} \right| = t\), \(\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}t = 2a - 8\\t = \dfrac{{2a - 8}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\), để phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là \(\left( 2 \right)\) phải có \(2\) nghiệm phân biệt, tức là \(2a - 8 > 0\)\( \Leftrightarrow a > 4\), \(\left( * \right)\).
Khi đó, thay lại ta có: \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + a = 2a - 8\\3{x^2} - 15x + 3a = 2a - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 8 - a = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\3{x^2} - 15x + a + 8 = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\).
Điều kiện để \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm phân biệt là mỗi phương trình bậc \(2\) ở trên có \(2\) nghiệm phân biệt và hai nghiệm của \(\left( 3 \right)\) không thỏa mãn \(\left( 4 \right)\)
Mỗi phương trình \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = 25 - 4\left( {8 - a} \right) > 0\\{\Delta _2} = {15^2} - 4.3.\left( {a + 8} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > \dfrac{7}{4}\\a < \dfrac{{43}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \dfrac{7}{4} < a < \dfrac{{43}}{4}\).
Nếu \(x\) là nghiệm của \(\left( 3 \right)\) thì không thỏa mãn \(\left( 4 \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 8 - a = 0\\3{x^2} - 15x + a + 8 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 8 - a = 0\\3\left( {{x^2} - 5x + 8 - a} \right) - 16 + 4a \ne 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 4a - 16 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 4\)
So với điều kiện \(\left( * \right)\), suy ra \(4 < a < \dfrac{{43}}{4}\).
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Hỏi có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên trong đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ để phương trình $\left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt?
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng \(2\) là
Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình $\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 = 0$ có nghiệm là
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \({x^2} - 4x + 6 + 3m = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).
Xác định $m$ để phương trình \(m = \left| {{x^2} - 6x - 7} \right|\) có $4$ nghiệm phân biệt.
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \(\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt { - {x^2} + 4} - 2m + 3 = 0\) có nghiệm.
Cho phương trình \(m{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x + m = 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{13}}{4}\). Khi đó tổng bình phương các giá trị tìm được của tham số \(m\) bằng
Một số tự nhiên có hai chữ số có dạng \(\overline {ab} \), biết hiệu của hai chữ số đó bằng \(3\). Nếu viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số bằng \(\dfrac{4}{5}\) số ban đầu trừ đi \(10\). Khi đó \({a^2} + {b^2}\) bằng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \({x^2} - 4\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {m - 1} \right) = 0\) có \(4\) nghiệm phân biệt
Tập tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2mx + m + 2 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt là
Biết phương trình \(3x + 1 - \sqrt {3{x^2} + 7x} - \sqrt {3x - 1} = 0\) có một nghiệm có dạng \(x = \dfrac{{a + \sqrt b }}{c}\), trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên tố. Tính \(S = a + b + c\).
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x + y} \right)^2} - 5\left( {4{x^2} - {y^2}} \right) + 6\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right) = 0\\2x + y + \dfrac{1}{{2x - y}} = 3\end{array} \right.\) có một nghiệm \(\left( {{x_0}; {y_0}} \right)\) thỏa mãn \({x_0} > \dfrac{1}{2}\). Khi đó \(P = {x_0} + y_0^2\) có giá trị là
Cho hàm số $y = - {x^2} + 4x - 3$, có đồ thị $\left( P \right)$. Giả sử $d$ là dường thẳng đi qua $A\left( {0;\, - 3} \right)$ và có hệ số góc $k$. Xác định $k$ sao cho $d$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại $2$ điểm phân biệt $E$, $F$ sao cho $\Delta OEF$ vuông tại $O$ ($O$ là gốc tọa độ). Khi đó
