Hỏi có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên trong đoạn $\left[ {0;2017} \right]$ để phương trình $\left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt?
-
A.
\(2016\).
-
B.
$2008$.
-
C.
$2009$.
-
D.
$2017$
- Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|\,\) từ đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x - 5\) bằng cách dựng lần lượt các đồ thị: \(y = {x^2} - 4\left| x \right| - 5\) và \(y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|\)
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng \(y = m\) với đồ thị hàm số vừa dựng được.
PT: $\left| {{x^2} - 4} \right|x\left| { - 5} \right| - m = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2} - 4} \right|x\left| { - 5} \right| = m\left( 1 \right)$
Số nghiệm phương trình \(\left( 1 \right) \) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|\,\left( P \right)\) và đường thẳng \(y = m\) (cùng phương \(Ox\))
Xét hàm số \(y = {x^2} - 4x - 5\,\,\left( {{P_1}} \right)\) có đồ thị như hình 1.
Xét hàm số \(y = {x^2} - 4\left| x \right| - 5\,\,\left( {{P_2}} \right)\) là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
Mà \(y = {x^2} - 4\left| x \right| - 5 = {x^2} - 4x - 5\) nếu \(x \ge 0\).
Suy ra đồ thị hàm số \(\left( {{P_2}} \right)\) gồm hai phần:
Phần \(1\): Giữ nguyên đồ thị hàm số \(\left( {{P_1}} \right)\) phần bên phải \(Oy\).
Phần \(2\): Lấy đối xứng phần \(1\) qua trục \(Oy\).
Ta được đồ thị \(\left( {{P_2}} \right)\) như hình 2.
Xét hàm số \(y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|\,\left( P \right)\), ta có: \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4\left| x \right| - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {y \ge 0} \right)\\ - \left( {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right)\,\,\left( {y < 0} \right)\end{array} \right.\).
Suy ra đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) gồm hai phần:
Phần \(1\): Giữ nguyên đồ thị hàm số \(\left( {{P_2}} \right)\) phần trên \(Ox\).
Phần \(2\): Lấy đối xứng đồ thị hàm số \(\left( {{P_2}} \right)\) phần dưới \(Ox\) qua trục \(Ox\).
Ta được đồ thị \(\left( P \right)\) như hình 3.
Quan sát đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) ta có:
Phương trình $\left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| - m = 0$ (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 9\\m = 0\end{array} \right.\).
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ {0;\,2017} \right]\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {0;10;\,11;\,12;\,...;\,2017} \right\}\)
Vậy có \(2009\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng \(2\) là
Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình $\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 = 0$ có nghiệm là
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \({x^2} - 4x + 6 + 3m = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).
Xác định $m$ để phương trình \(m = \left| {{x^2} - 6x - 7} \right|\) có $4$ nghiệm phân biệt.
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \(\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt { - {x^2} + 4} - 2m + 3 = 0\) có nghiệm.
Cho phương trình \(m{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x + m = 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{13}}{4}\). Khi đó tổng bình phương các giá trị tìm được của tham số \(m\) bằng
Một số tự nhiên có hai chữ số có dạng \(\overline {ab} \), biết hiệu của hai chữ số đó bằng \(3\). Nếu viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số bằng \(\dfrac{4}{5}\) số ban đầu trừ đi \(10\). Khi đó \({a^2} + {b^2}\) bằng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \({x^2} - 4\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {m - 1} \right) = 0\) có \(4\) nghiệm phân biệt
Tập tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2mx + m + 2 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt là
Biết phương trình \(3x + 1 - \sqrt {3{x^2} + 7x} - \sqrt {3x - 1} = 0\) có một nghiệm có dạng \(x = \dfrac{{a + \sqrt b }}{c}\), trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên tố. Tính \(S = a + b + c\).
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x + y} \right)^2} - 5\left( {4{x^2} - {y^2}} \right) + 6\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right) = 0\\2x + y + \dfrac{1}{{2x - y}} = 3\end{array} \right.\) có một nghiệm \(\left( {{x_0}; {y_0}} \right)\) thỏa mãn \({x_0} > \dfrac{1}{2}\). Khi đó \(P = {x_0} + y_0^2\) có giá trị là
Cho hàm số $y = - {x^2} + 4x - 3$, có đồ thị $\left( P \right)$. Giả sử $d$ là dường thẳng đi qua $A\left( {0;\, - 3} \right)$ và có hệ số góc $k$. Xác định $k$ sao cho $d$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại $2$ điểm phân biệt $E$, $F$ sao cho $\Delta OEF$ vuông tại $O$ ($O$ là gốc tọa độ). Khi đó
Để phương trình sau có \(4\) nghiệm phân biệt: \(\left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| = {x^2} - 5x + a\). Giá trị của tham số \(a\) là
