Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC' và mặt phẳng (BCC'B') bằng $30^o$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.

Vì tam giác ABC và A’B’C’ vuông cân lần lượt tại A và A’, do đó II’ là trục của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ trên, với R = IA = BC = IC = I’A’ = I’B’ = I’C’ là bán kính đáy khối trụ.

Dễ dàng chứng minh \(AI \bot (BCC'B') \Rightarrow AI \bot IC'\) và IC’ là hình chiếu của AC’ lên (BCC’B’).

Do đó \(\left( {AC',(BCC'B')} \right) = \widehat {AC'I} = {30^o}\).

Xét tam giác AIC’ vuông tại I:

\(\tan \widehat {AC'I} = \frac{{AI}}{{IC'}}\)

\( \Rightarrow IC' = \frac{{AI}}{{\tan \widehat {AC'I}}} = \frac{R}{{\tan {{30}^o}}} = R\sqrt 3 \).

Xét tam giác ICC’ vuông tại C:

\(IC' = \sqrt {I{C^2} + C'{C^2}} \)

\( = \sqrt {{R^2} + {{(2a)}^2}}  = \sqrt {{R^2} + 4{a^2}} \).

Suy ra \(R\sqrt 3  = \sqrt {{R^2} + 4{a^2}}  \Rightarrow R = a\sqrt 2 \).

Vậy thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

\(V = \pi {R^2}.AA' = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.2a = 4\pi {a^3}\).