Đề bài

Hàm số \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{9x^2 + 5} - 1}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x) \geq 0\) là \(S = [a; b]\). Tính giá trị của biểu thức \(S = a^2 + b^2\). (Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).

Phương pháp giải

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm và giải bất phương trình chứa dấu căn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com
Đáp án :

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(f'(x) = \frac{{x'\left( {\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1} \right) - x.\left( {\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1 - \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }}}}{{{{\left( {\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1} \right)}^2}}}\).

\(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + 5}  - 1 - \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{9{x^2} + 5}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} - 1 - \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} \ge 1 \Leftrightarrow 5 \ge \sqrt {9{x^2} + 5} \) (cả tử và mẫu đều dương nên ta nhân chéo)

\( \Leftrightarrow 25 \ge 9{x^2} + 5 \Leftrightarrow 9{x^2} \le 20 \Leftrightarrow {x^2} \le \frac{{20}}{9} \Leftrightarrow  - \sqrt {\frac{{20}}{9}}  \le x \le \sqrt {\frac{{20}}{9}} \).

Do đó \(S = \left[ { - \sqrt {\frac{{20}}{9}} ;\sqrt {\frac{{20}}{9}} } \right]\).

Vậy \({a^2} + {b^2} = \frac{{20}}{9} + \frac{{20}}{9} = \frac{{40}}{9} \approx 4,4\).

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^3} - {x^2} + 3\) và \(g\left( x \right) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 5\). Bất phương trình \(f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\) có tập nghiệm là

A. \(\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).         

B. \(\left( {0;1} \right)\).

C. \(\left[ {0;1} \right]\).                                

D. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\) có đạo hàm là

A. \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).     

B. \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).  

C. \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).                       

D. \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \left( {{x^2} + 3x - 1} \right){e^x}\);

b) \(y = {x^3}{\log _2}x\).

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x{\log _2}x\);                                    

b) \(y = {x^3}{e^x}\).

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 2{{\rm{x}}^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 4{\rm{x}} - \frac{1}{3}\);

b) \(y = \frac{{ - 2{\rm{x}} + 3}}{{{\rm{x}} - 4}}\);

c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 3}}{{{\rm{x}} - 1}}\);  d) \(y = \sqrt {5{\rm{x}}} \).

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}};\)                    

b) \(y = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right).\)

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Với u, v là các hàm số hợp theo biến x, quy tắc đạo hàm nào sau đây là đúng?

A. \((u + v)' = u' - v'\).                                        

B. \((uv)' = u'v + uv'\).

C. \({\left( {\frac{1}{v}} \right)^,} =  - \frac{1}{{{v^2}}}\).                                                  

D. \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{u'v + uv'}}{{{v^2}}}\).

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=\tan x+\cot x$ tại điểm ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}$.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.

Xem lời giải >>
Bài 10 :

a) \((u + v + w)' = u' + v' + w'\).

b) \((u + v - w)' = u' + v' - w'\).

c) \((uv)' = u'v'\).

d) \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'}}{{v'}};\,\,\,v = v(x) \ne 0,v' = v'(x) \ne 0\).

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho \(u = u(x),v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \((uv)' = u'v'\)

B. \((uv)' = uv'\)

C. \((uv)' = u'v\)

D. \((uv)' = u'v + uv'\)

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Cho \(u = u(x),v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'}}{{v'}}\) với \(v = v(x) \ne 0,v = v'(x) \ne 0\)

B. \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{v}\) với \(v = v(x) \ne 0\)

C. \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) với \(v = v(x) \ne 0\)

D. \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{v'}}\) với \(v = v(x) \ne 0;\,\,v' = v'(x) \ne 0\)

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 2}}\) có đạo hàm là

A. \(y' =  - \frac{1}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)

B. \(y' =  - \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)

C. \(y' = \frac{1}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)

D. \(y' = \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Cho \(f = f\left( x \right),{\rm{ }}g = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \({\left( {fg} \right)^\prime } = fg'.\)

B. \({\left( {fg} \right)^\prime } = f'g'.\)

C. \({\left( {fg} \right)^\prime } = f'g - fg'.\)

D. \({\left( {fg} \right)^\prime } = f'g + fg'.\)

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Cho \(f = f\left( x \right),{\rm{ }}g = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định và \(g = g\left( x \right) \ne 0,{\rm{ }}g' = g'\left( x \right) \ne 0\). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \({\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \frac{{f'}}{{g'}}.\)

B. \({\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \frac{{f'g - fg'}}{{{g^2}}}.\)

C. \({\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \frac{{f'}}{{{g^2}}}.\)

D. \({\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \frac{{f'g + fg'}}{{{g^2}}}.\)

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}.\) Khi đó, \(f'\left( x \right)\) bằng:

A. \( - \frac{1}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}.\)

B. \( - \frac{2}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}.\)

C. \(\frac{2}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}.\)

D. \(\frac{1}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}.\)

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Cho hàm số \(f = f\left( x \right),g = g\left( x \right),h = h\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Khi đó, \({\left( {fg + h} \right)^\prime }\) bằng:

A. \(f'g' + h'.\)

B. \(f'g'h'.\)

C. \(f'g + fg' + h'.\)

D. \(f'gh' + fg'h.\)

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{ax + b}}.\) Khi đó, \(f'\left( x \right)\) bằng:

A. \( - \frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}.\)

B. \(\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}.\)

C. \(\frac{a}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}.\)

D. \( - \frac{a}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}.\)

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 2}}\)

b) \(y = \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}}\)

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + 5g\left( x \right)} \) và \(g\left( 0 \right) = 3,g'\left( 0 \right) =  - 8\). Đạo hàm \(f'\left( 0 \right)\) bằng

A. \(10\).                               

B. \( - 8\).

C. \( - 5\).

D. \(5\).

Xem lời giải >>
Bài 21 :

Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{{x^3}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}\) là

  • A.

    \( y'=- \dfrac{3}{{{x^4}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}\)

  • B.

    \(y'=\dfrac{{ - 3}}{{{x^4}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}}\) 

  • C.

    \(y'=\dfrac{{ - 3}}{{{x^4}}} - \dfrac{2}{{{x^3}}}\)         

  • D.

    \(y'=\dfrac{3}{{{x^4}}} - \dfrac{1}{{{x^3}}}\)

Xem lời giải >>
Bài 22 :

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{{x^2} - 2x + 5}}.\)

  • A.

    $y' = \dfrac{{2x - 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}.$

  • B.

    $y' = \dfrac{{ - 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}.$

  • C.

    \(y' = (2x - 2)({x^2} - 2x + 5).\)

  • D.

    \(y' = \dfrac{1}{{2x - 2}}.\)

Xem lời giải >>
Bài 23 :

Hàm số \(y = \dfrac{{{x^4}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + x + 2021\) có đạo hàm là

  • A.

    \(y' = 8{x^3} - 3x\)

  • B.

    \(y' = 2{x^3} - {x^2}\)

  • C.

    \(y' = 2{x^3} - {x^2} + 1\)

  • D.

    \(y' = 2{x^3} - {x^2} - 1\)

Xem lời giải >>
Bài 24 :

Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\).

  • A.

    \(y' = 4{x^3} - 6x + 3\) 

  • B.

    \(y' = 4{x^4} - 6x + 2\) 

  • C.

    \(y' = 4{x^3} - 3x + 2\)            

  • D.

    \(y' = 4{x^3} - 6x + 2\)

Xem lời giải >>
Bài 25 :

Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) tại điểm $x =  - 1$. 

  • A.

    $f'\left( { - 1} \right) = 4.$

  • B.

    \(f'\left( { - 1} \right) = 14.\)

  • C.

    $f'\left( { - 1} \right) = 15.$

  • D.

    $f'\left( { - 1} \right) = 24.$

Xem lời giải >>
Bài 26 :

Đạo hàm cấp một của hàm số \(y = {\left( {1 - {x^3}} \right)^5}\) là:

  • A.

    \(y' = 5{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\) .

  • B.

    \(y' =  - 15{x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).

  • C.

    \(y' =  - 3{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).

  • D.

    \(y' =  - 5{x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).

Xem lời giải >>
Bài 27 :

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 5\). Phương trình \(y' = 0\) có nghiệm là:

  • A.

    \(\left\{ { - 1;2} \right\}\).

  • B.

    \(\left\{ { - 1;3} \right\}\).

  • C.

    \(\left\{ {0;4} \right\}\).

  • D.

    \(\left\{ {1;2} \right\}\).

Xem lời giải >>
Bài 28 :

Cho hàm số \(y = f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 12x - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). \(y'\) của hàm số là

  • A.

    \(y' = \dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{1}{2}x - 12\)

  • B.

    \(y' = {x^2} + x - 12\)

  • C.

    \(y' = 3{x^2} + 2x - 12\)

  • D.

    \(y' = {x^2} + x + 12\)

Xem lời giải >>
Bài 29 :

Chọn mệnh đề sai.

  • A.

    (u.v)’ = u’.v’

  • B.

    (u – v)’ = u’ – v’

  • C.

    (u.v)’ = u’.v – u.v’

  • D.

    (u + v)’ = u’ + v’

Xem lời giải >>
Bài 30 :

Đạo hàm của hàm số \({x^2} + {3^x}\) trên \(\mathbb{R}\) là

  • A.

    \(y' = 2x + {3^x}\)

  • B.

    \(y' = 2x + {3^x}\ln 3\)

  • C.

    \(y' = 2x + x{3^{x - 1}}\)

  • D.

    \(y' = x + {3^x}\ln 3\)

Xem lời giải >>