Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(0; 6), B(6; 3) và điểm M thuộc trục hoành.
a) Xác định điểm C đối xứng với B qua trục hoành.
b) Chứng minh rằng MB = MC.
c) Xác định điểm M sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Dựa vào kiến thức:
Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
a) Điểm B(6; 3) đối xứng với điểm C qua trục hoành Ox nên C là ảnh của B qua phép đối xứng trục Ox. Do đó C(6; – 3).
b) Vì C là ảnh của điểm B qua phép đối xứng trục Ox nên Ox là đường trung trực của đoạn thẳng BC, do đó điểm M thuộc đường trung trực Ox của BC thì M cách đều B và C, suy ra MB = MC.
c)
Vì MB = MC nên MA + MB = MA + MC.
Do A và C nằm khác phía nhau đối với trục Ox và M thuộc Ox nên MA + MC ≥ AC.
Dấu “=” xảy ra khi M thuộc AC.
Như vậy M là giao điểm của AC và Ox thì tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng AC.
Ta có: \(OA = \sqrt {{6^2} + {0^2}} = 6,\,BC = \sqrt {{{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 3} \right)}^2}} = 6\).
Gọi D là giao điểm của BC và Ox, khi đó \(CD = \frac{1}{2}BC = 3\) và OA // CD.
Suy ra \(\frac{{OM}}{{MD}} = \frac{{OA}}{{CD}} = \frac{6}{3} = 2\). Suy ra \(OM{\rm{ }} = {\rm{ }}2MD\;\) nên \(OM = \frac{2}{3}OD = \frac{2}{3}.6 = 4\).
Do đó, M(4; 0).
Vậy M(4; 0) thì tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Các bài tập cùng chuyên đề
Xét mặt phẳng tọa độ Oxy (H.1.15). Trong các khẳng định sau, chọn các khẳng định đúng.
a) Phép đối xứng trục Ox biến mỗi điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\) thành điểm có tọa độ \(\left( {x;{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right).\)
b) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\) thành điểm có tọa độ \(\left( {-{\rm{ }}x;{\rm{ }}y} \right).\)
c) Phép đối xứng trục Ox biến A(1; 2) thành điểm \(A'\left( {-{\rm{ }}1;{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right).\)
Cầu Ponte Sisto in hình dưới dòng sông Tiber, tạo nên một hình ảnh có tính đối xứng trục.
a) Hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.
b) Có thể đếm được bao nhiêu hình bóng điện dưới sông? Mỗi hình đó là ảnh dưới sông của bóng điện nào trên cầu?
Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.
Cho đường thẳng \(\Delta \) và hai điểm A, B, sao cho \(\Delta \) không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M thay đổi trên \(\Delta \) (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M' là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là \(\left( {{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right),\) N có tọa độ là \(\left( {{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.
b) Tính \(M{N^2},{\rm{ }}M'N{'^2}\;\) theo tọa độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.
Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định phép đối xứng trục biến điểm A thành điểm B.
Cho hai đường tròn không đồng tâm, những có cùng bán kính (O1; R) và (O2; R). Xác định phép đối xứng trục biến (O1; R) thành (O2; R).
Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d. Gọi M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d. Hỏi A, B, M, N có là 4 đỉnh của một hình thang cân hay không?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\Delta \): x + 2y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với \(\Delta \) qua trục Ox.
Dùng com-pa, thước kẻ, bút, hãy vẽ lại các nét thẳng và tròn trong Hình 1.19.
Cho một mảnh giấy hình thang cân ABCD (AB // CD). Hãy chỉ ra một cách cắt mảnh giấy đó thành hai mảnh giấy bằng nhau.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và hai điểm \(A\left( {-{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right),{\rm{ }}B\left( {-{\rm{ }}3;{\rm{ }}4} \right).\)
a) Tìm tọa độ điểm \(A'\) là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục \(\Delta \).
b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong mặt phẳng, cho hình thang cân ABCD, kí hiệu là ℋ. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đáy của hình thang cân đó (Hình 14).
Tìm ℋ' = Đd(ℋ).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(3; 2), bán kính R = 2. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Xác định ảnh của cánh sao màu vàng có các đỉnh D, I, P qua phép đối xứng trục d trong Hình 12.
Xét phép đối xứng trục d (Hình 11).
a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm thẳng hàng A, B, C qua phép đối xứng trục d.
b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2). Gọi M', N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục Ox.
a) Xác định tọa độ của hai điểm M' và N'.
b) Viết công thức tính độ dài hai đoạn thẳng MN và M'N', từ đó so sánh hai đoạn thẳng MN và M'N'.
Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm M, N, P, Q qua phép đối xứng trục AC.
Trong mặt phẳng cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng và M ∉ d, hãy xác định điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' (hay M' là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d) (Hình 9).
