Đề bài

Để làm một cái gàu tát nước có dạng hình nón (hình 1), bác An dùng một tấm tôn hình \(\Delta OMN\) cân tại O có cạnh bên OM = 6dm, \(\widehat {MON} = 120^\circ \) (hình 2). Bác xác định trung điểm H của MN, vẽ cung tròn tâm O bán kính OH cắt các cạnh OM, ON lần lượt tại A, B. Sau đó bác cắt bỏ phần gạch sọc, cuộn phần còn lại của tấm tôn sao cho mép OA trùng khít với mép OB tạo thành chiếc gàu (giả sử phần diện tích của mép nối không đáng kể). (lấy \(\pi \approx 3,14\))

a) Tính diện tích tôn cần dùng để làm chiếc gàu? (kết quả làm tròn 1 chữ số thập phân)

b) Hỏi khi múc đầy thì chiếc gàu chứa được bao nhiêu lít nước? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\), trong đó h là chiều cao hình nón, r là bán kính mặt đáy hình nón.

Phương pháp giải

a) Diện tích tôn cần dùng chính là diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl\).

Để tính diện tích xung quanh, ta cần có \(r\) và \(l\).

Chứng minh OH là đường phân giác đồng thời là đường cao để tính được OH theo tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Từ đó ta tính được độ dài cung tròn AB nhỏ: \({l_{AB}} = \frac{{\pi Rn}}{{180}}\), chính là chu vi đường tròn đáy của hình nón.

Dùng công thức tính chu vi đường tròn để tính bán kính đáy \(r\) của hình nón.

Đường sinh \(l\) của hình nón chính là độ dài đoạn OA.

Tính diện tích xung quanh hình nón, chính là diện tích tôn cần dùng.

b) Áp dụng công thức liên hệ giữa bán kính, đường sinh và đường cao để tính đường cao: \({l^2} = {r^2} + {h^2}\).

Từ đó tính thể tích gàu nước.

Đổi về lít: \(1d{m^3}\) = 1 lít.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì OH là trung tuyến tam giác \(\Delta MON\) (gt) và \(\Delta MON\) cân tại \(O\) (gt) nên OH đồng thời là phân giác của \(\widehat {MON}\) và đường cao của tam giác \(\Delta MON\).

Do đó \(\widehat {MOH} = \frac{{\widehat {MON}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \) và \(OH \bot MN\) tại \(H\).

Trong tam giác MOH vuông tại \(H\), ta có:

\(\cos MOH = \frac{{OH}}{{OM}}\) suy ra \(OH = OM.\cos MOH = 6.\cos 60^\circ = 3\left( {dm} \right)\)

Do đó độ dài cung tròn AB nhỏ là:

\({l_{AB}} = \frac{{\pi Rn}}{{180}} \approx \frac{{3,14 \cdot 3 \cdot 120}}{{180}} = 6,28\;\left( {{\rm{dm}}} \right)\)

Vì cuộn phần còn lại của tấm tôn sao cho mép OA trùng khít với mép OB tạo thành chiếc gàu nên độ dài cung tròn AB nhỏ là chu vi của miệng chiếc gàu (chu vi hình tròn) nên \(6,28 = 2 \cdot r \cdot 3,14\) suy ra \(r = \frac{{6,28}}{{2.3,14}} = 1\left( {dm} \right)\)

Diện tích tôn cần dùng để làm chiếc gàu chính là diện tích xung quanh hình nón.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

\({S_{xq}} = \pi rl \approx 3,14 \cdot 1 \cdot 3 = 9,42 \approx 9,4\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) (vì đường sinh \(l = OA = 3\) dm)

Vậy diện tích tôn cần dùng để làm chiếc gàu khoảng 9,4 \(d{m^2}\).