Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy \(AB = 10cm,\) cạnh bên \(SD = 15cm\). Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh \(SO \bot MN.\) Từ đó tính độ dài đường cao SO của hình chóp.
b) Tính thể tích của hình chóp.
c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
a) - Sử dụng kiến thức về hình chóp tứ giác đều hình chóp tứ giác đều: Hình chóp tứ giác đều có:
+ Mặt đáy là hình vuông.
+ Mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung một đỉnh.
+ Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và giao điểm của hai đường chéo của mặt đáy gọi là đường cao của hình chóp tứ giác đều.
+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều.
- Sử dụng định lí Pythagore để tính đường cao SO.
b) Sử dụng kiến thức về thể tích của hình chóp tứ giác đều để tính thể tích hình chóp: Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng \(\frac{1}{3}\) tích của diện tích đáy với chiều cao của nó.
c) + Sử dụng kiến thức về diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều để tính diện tích xung quanh hình chóp: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.
+ Sử dụng kiến thức về diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều để tính diện tích toàn phần hình chóp: Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích của mặt đáy
a) Vì các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác cân bằng nhau nên các đường trung tuyến tương ứng của chúng bằng nhau, tức là \(SM = SN\). Tam giác SMN là tam giác cân tại S và O là trung điểm của MN nên \(SO \bot MN.\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 200\) nên \(AC = 10\sqrt 2 cm\)
Do đó, \(OA = \frac{1}{2}AC = 5\sqrt 2 cm\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SOA vuông tại O có: \(A{O^2} + S{O^2} = S{A^2}\) nên \(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = 175\) nên \(SO = \sqrt {175} = 5\sqrt 7 cm\)
b) Thể tích của hình chóp đều S.ABCD là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.5\sqrt 7 {.10^2} = \frac{{500\sqrt 7 }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)
c) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SMA vuông tại M có: \(S{M^2} + A{M^2} = S{A^2}\)
Do đó, \(S{M^2} = S{A^2} - A{M^2} = 200\) nên \(SM = 10\sqrt 2 cm\)
Nửa chu vi đáy là: \(p = 20cm\)
Diện tích xung quanh của hình chóp là: \({S_{xq}} = SM.p = 10\sqrt 2 .20 = 200\sqrt 2 \left( {c{m^2}} \right)\)
Diện tích đáy ABCD là: \({S_{ABCD}} = {10^2} = 100\left( {c{m^2}} \right)\)
Diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD là:
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{ABCD}} = 200\sqrt 2 + 100 = 100\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Một chiếc lều có dạng hình chóp tứ giác đều ở trại hè của học sinh có kích thước như Hình 7.
a) Tính thể tích không khí trong chiếc lều.
b) Tính diện tích vải lều (không tính các mép dán), biết chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là \(3,18\)m và lều này không có đáy.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? Vì sao?
a) Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều bằng nửa tích của chu vi đáy với độ dài trung đoạn.
b) Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều bằng nửa tích của chu vi đáy với chiều cao.
c) Thể tích của hình chóp tứ giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với độ dài trung đoạn.
d) Thể tích của hình chóp tứ giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? Vì sao?
a) Nếu độ dài trung đoạn của một hình chóp tứ giác đều tăng lên \(n\) lần \(\left( {n > 1} \right)\) và độ dài cạnh đáy không đổi thì diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó cũng tăng lên \(n\) lần.
b) Nếu độ dài cạnh đáy của một hình chóp tứ giác đều tăng lên \(n\) lần \(\left( {n > 1} \right)\) và chiều cao không đổi thì thể tích của hình chóp tứ giác đều đó cũng tăng lên \(n\) lần.
Người ta làm mô hình kim tự tháp ở cổng vào của bảo tàng Louvre. Mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao 21 m, độ dài cạnh đáy là 34 m
a) Tính thể tích hình chóp
b) Tính tổng diện tích các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên hình chóp này, biết rằng người ta đo được độ dài cạnh bên của hình chóp là 31, 92m.
Bạn Hà làm một cái lồng đèn hình quả trám (xem hình bên) là hình ghép từ hai hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 20 cm, cạnh bên 26 cm, khoảng cách giữa hai đỉnh của hai hình chóp là 30 cm.
a) Tính thể tích của lòng đèn.
b) Bạn Hà muốn dán giấy mờ lên cái lòng đèn hình quả trám này thì cần phải chuẩn bị bao nhiêu mét vuông giấy (bỏ qua các mép dán)?
Cho hình chóp tứ giác đều D.ABCE có cạnh đáy bằng 6cm, trung đoạn bằng 4cm như Hình 10.13
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 10 cm, trung đoạn bằng 13 cm. (H.10.12).
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp
b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên bằng 13 cm, cạnh đáy bằng 10 cm như Hình 10.15.
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Người ta làm mô hình kim tự tháp ở cổng vào của bảo tàng Louvre. Mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao 21 m, độ dài cạnh đáy là 34 m
a) Tính thể tích hình chóp
b) Tính tổng diện tích các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên hình chóp này, biết rằng người ta đo được độ dài cạnh bên của hình chóp là 31, 92m.
