Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi AK là đường kính của (O). Chứng minh rằng:
a) \(BH = CK,CH = BK\);
b) \(AD.AK = AB.AC\).
a) Chứng minh BH//KC, CH//KB, suy ra BHCK là hình bình hành. Do đó, \(BH = CK,CH = BK\).
b) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta AKC\left( g.g \right)$, từ đó suy ra \(AD.AK = AB.AC\).
a) Xét (O): \(\widehat {ACK} = \widehat {ABK} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra: \(AC \bot CK, AB \bot KB\).
Mặt khác, \(AC \bot BH,\)\(AB \bot CH\). Do đó, BH//KC, CH//KB.
Suy ra, BHCK là hình bình hành.
Do đó, \(BH = CK, CH = BK\).
b) Hai tam giác ABD và AKC có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {ACK} = {90^o},\widehat {ABD} = \widehat {AKC}\) (góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung AC).
Suy ra, $\Delta ABD\backsim \Delta AKC\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AD}}{{AC}}\), do đó \(AD.AK = AB.AC\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC có ba đường phân giác đồng quy tại điểm I. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ I xuống các cạnh BC, CA và AB (H.9.19).
a) Hãy giải thích vì sao các điểm D, E, F cùng nằm trên một đường tròn có tâm I.
b) Gọi (I) là đường tròn trên. Hãy giải thích vì sao (I) tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có bao nhiêu đường tròn nội tiếp? Có bao nhiêu tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn?
Theo gợi ý trong Hình 10, nêu cách xác định hai điểm I và O của tình huống trong khởi động (trang 65).
Ba cụm dân cư A, B, C nối với nhau bởi ba con đường AB, BC, CA như trong hình dưới đây. Người ta muốn tìm địa điểm O để xây một trường học và địa điểm I để lập một trạm cứu hộ xe, sao cho O cách đều ba điểm A, B, C và I cách đều ba con đường. Làm thế nào để xác định hai điểm O và I?
Cho tam giác ABC và đường tròn (I) (Hình 9). Nêu vị trí tương đối của các đường thẳng AB, BC, CA với đường tròn (I).
Trong Hình 11, đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp những tam giác nào?
Trong Hình 7.6, O là giao điểm của ba đường phân giác của \(\Delta \)ABC và OM, ON, OP là các đường vuông góc hạ từ O xuống ba cạnh của tam giác. Giải thích vì sao đường tròn tâm O bán kính OM tiếp xúc cả ba cạnh của \(\Delta \)ABC.
Cho đường tròn \(\left( I \right)\) nội tiếp tam giác \(ABC\) với các tiếp điểm trên cạnh \(AB,\,AC,\,BC\) lần lượt là \(E,\,F,\,D\). Biết \(\widehat A = 40^\circ ;\,\,\widehat B = 60^\circ \).
Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm dộ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r); D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của cạnh AB, BC, AC với đường tròn (I; r) (Hình 4).
a) Ba đường trung trực của tam giác ABC cắt nhau tại I.
b) AD = AF.
c) BD + CF = BC
d) IE = r
Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm trên các cạnh AB, AC lần lượt là E, F. Chứng minh rằng \(\widehat {EIF} + \widehat {BAC} = {180^o}\).
Một đường tròn là đường tròn nội tiếp nếu nó:
