a) Số điểm của ba bạn An, Hòa, Bình đạt được ở vòng thi tuần thứ 11 của “đấu trường toán học” lần lượt tỉ lệ với các số 9, 10, 8. Biết rằng số điểm đạt được của Hòa nhiều hơn Bình là 6 điểm. Tính số điểm đạt được của mỗi bạn.

b) Cho \(\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\). Chứng minh rằng \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).

a) Gọi số điểm của ba bạn An, Hòa, Bình đạt được lần lượt là a (điểm); b (điểm); c (điểm).

Vì số điểm của ba bạn An, Hòa, Bình đạt được ở vòng thi tuần thứ 11 của “đấu trường toán học” lần lượt tỉ lệ với các số 9, 10, 8 nên ta có: \(\frac{a}{9} = \frac{b}{{10}} = \frac{c}{8}\).

Vì số điểm đạt được của Hòa nhiều hơn Bình là 6 điểm nên ta có: b – c = 6.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{9} = \frac{b}{{10}} = \frac{c}{8} = \frac{{b - c}}{{10 - 8}} = \frac{6}{2} = 3\)

Suy ra a = 9.3 = 27; b = 10.3 = 30; c = 8.3 = 24.

Vậy số điểm của ba bạn An, Hòa, Bình đạt được lần lượt là 27 điểm, 30 điểm, 24 điểm.

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{a + c + a - c}}{{b + d + b - d}} = \frac{{2a}}{{2b}} = \frac{a}{b}\,\left( 1 \right)\\\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{a + c - \left( {a - c} \right)}}{{b + d - \left( {b - d} \right)}}\frac{{a + c - a + c}}{{b + d - b + d}} = \frac{{2c}}{{2d}} = \frac{c}{d}\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).