Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng FM ở D. Chứng minh tứ giác BDCF là hình bình hành.
c) Chứng minh BE.AC + CF.AB = AB.AC.
a) Chứng minh tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
b) Chứng minh BD // AC suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {BCF}\).
Chứng minh \(\Delta FMC = \Delta DMB\) (g.c.g) suy ra MF = MD.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
c) Áp dụng định lí Thalès với HE // AC, HF // AB để suy ra các tỉ lệ bằng nhau.
Biến đổi để được điều phải chứng minh.
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat A = 90^\circ \)
Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC nên \(HE \bot AB,HF \bot AC\), suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {HFA} = 90^\circ \).
Xét tứ giác AEHF có \(\widehat A = \widehat {AEH} = \widehat {HFA} = 90^\circ \) nên AEHF là hình chữ nhật.
b) Do tam giác ABC vuông ở A nên \(AB \bot AC\). Mà \(BD \bot AB\) nên \(AC//BD\), do đó \(\widehat {FCB} = \widehat {CBD}\) (hai góc so le trong)
Xét \(\Delta FMC\) và \(\Delta DMB\) có:
\(\widehat {FCB} = \widehat {CBD}\) (cmt)
CM = BM (vì M là trung điểm của BC)
\(\widehat {FMC} = \widehat {DMB}\) (hai góc so le trong)
Suy ra \(\Delta FMC = \Delta DMB\left( {g.c.g} \right)\), do đó MF = MD (hai cạnh tương ứng).
Tứ giác BDCF có hai đường chéo BC và DF cắt nhau tại M và BM = MC, MF = MD nên BDCF là hình bình hành.
c) Vì AEHF là hình chữ nhật nên HE // AF, HF // AE nên HE // AC, HF // AB.
Áp dụng định lí Thalès trong tam giác, ta có:
\(\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BH}}{{BC}}\); \(\frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{CH}}{{BC}}\).
Do đó \(\frac{{BE}}{{AB}} + \frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{BC}} + \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\)
Suy ra \(\frac{{BE.AC}}{{AB.AC}} + \frac{{CF.AB}}{{AB.AC}} = \frac{{AB.AC}}{{AB.AC}}\), do đó \(BE.AC + CF.AB = AB.AC\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
a) Chứng minh rằng AE = DF.
b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng \(\dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{EC}}{{E{\rm{A}}}}\)
Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên IA, qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt IB tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt IC tại F. Chứng minh rằng: DF//AC
Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\). Đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD, BD, AC\) và \(BC\) theo thứ tự tại các điểm \(M, N, P, Q\).
Chứng minh rằng \(MN = PQ\).
Cho \(M,N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(AB;AC\) của tam giác \(ABC\).
a) Tính các tỉ số \(\frac{{AM}}{{AB}},\frac{{AN}}{{AC}}\);
b) Chứng mình \(MN//BC\);
c) Chứng minh \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\), biết \(DE//BC\) (Hình 2). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\).
B. \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).
C. \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\).
D. \(\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}}\).
Cho \(\Delta ABC\), một đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Qua \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(CD\) cắt \(AB\) tại \(F\). Biết \(AB = 25cm,AF = 9cm,EF = 12cm\), độ dài đoạn \(DC\) là
A. 25cm.
B. 20cm.
C. 15cm.
D. 12cm.
a) Độ cao \(AN\) và chiều dài bóng nắng của các đoạn thẳng \(AN,BN\) trên mặt đất được ghi lại như trong Hình 6. Tính chiều cao \(AB\)của cái cây.
b) Một tòa nhà cao 24m, đổ bóng nắng dài 36m trên đường như Hình 7. Một người cao 1,6m muốn đứng trong bóng dâm của toàn nhà. Hỏi người đó có thể đứng cách tòa nhà xa nhất là bao nhiêu mét?
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC\) bằng 30cm. Trên đường cao \(AH\) lấy các điểm \(K,I\) sao cho \(AK = KI = IH\). Qua \(I\) và \(K\) vẽ các đường \(EF//BC,MN//BC\left( {E,M \in AB;F,N \in AC} \right)\).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(MN\) và \(EF\).
b) Tính diện tích tứ giác \(MNFE\) biết rằng diện tích tam giác \(ABC\) là \(10,8d{m^2}\).
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại . Qua \(O\), kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) tại \(E\), kẻ đường thẳng song song với \(CD\) cắt \(AD\) tại \(F\).
a) Chứng minh: \(EF//BD\);
b) Từ \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(BC\) tại \(G\) và đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(CD\) tại \(H\). Chứng minh rằng \(CG.DH = BG.CH\).
Cho hình bình hành \(ABCD\). Đường thẳng \(a\) đi qua \(A\) cắt \(BD,BC,DC\) lần lượt tại \(E,K,G\) (Hình 10). Chứng minh rằng:
a) \(A{E^2} = EK.EG\);
b) \(\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\).
Cho hình thang ABCD \(\left( {AB\parallel CD} \right)\) có AB = 4cm, CD = 6cm. Đường thẳng d song song với hai đáy và cắt hai cạnh bên AD, BC của hình thang đó lần lượt tại M, N; cắt đường chéo AC tại P.
a) Chứng minh \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\);
b) Tính độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN; biết rằng MD = 2MA.
Trong Hình 15, cho \(MN\parallel AB,\,\,NP\parallel BC\). Chứng minh \(MP\parallel AC\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC=15 cm, CA=18 cm\) và \(AB=12 cm\). Gọi \(I\) và \(G\) lần lượt là giao điểm ba đường phân giác và trọng tâm \(\Delta ABC\).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(CD\) và \(BD\).
b) Chứng minh \(IG\parallel BC\).
c) Tính độ dài đoạn thẳng \(IG\).
Cho tam giác \(ABC\). Điểm \(O\) nằm trong tam giác. Lấy điểm \(D\) trên \(AO\), từ \(D\) kẻ \(DE\parallel AB\) (\(E \in OB\)) và \(DF\parallel AC\) (\(F \in OC\)). Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho tam giác \(ABC\), \(I\) và \(K\) là hai điểm bất kì trên cạnh \(AB\) và \(AC\). Từ \(I\) kẻ \(IM\parallel BK\) (\(M \in AC\)), từ \(K\) kẻ \(KN\parallel CI\) (\(N \in AB\)). Khi đó \(MN\) …… \(BC\). Từ thích hợp điền vào chỗ chấm là:
Cho tam giác \(ABC\), đường thẳng \(d\) cắt \(AB,\, AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\) sao cho \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
