Cho tam giác \(ABC\) có \(BC\) bằng 30cm. Trên đường cao \(AH\) lấy các điểm \(K,I\) sao cho \(AK = KI = IH\). Qua \(I\) và \(K\) vẽ các đường \(EF//BC,MN//BC\left( {E,M \in AB;F,N \in AC} \right)\).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(MN\) và \(EF\).
b) Tính diện tích tứ giác \(MNFE\) biết rằng diện tích tam giác \(ABC\) là \(10,8d{m^2}\).
Định lí Thales
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hệ quả của định lí Thales
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
a) Vì \(AK = KI = IH \Rightarrow AK = \frac{1}{3}AH;AI = \frac{2}{3}AH\).
Vì \(EF//BC \Rightarrow EK//BH;MN//BC \Rightarrow MI//BH\)
Xét tam giác \(ABH\) ta có \(EK//BH\), theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{1}{3}\)
Xét tam giác \(ABH\) ta có \(MI//BH\), theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{2}{3}\)
Xét tam giác \(ABC\) ta có \(EF//BC\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{EF}}{{30}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EF = \frac{{30.1}}{3} = 10\)
Xét tam giác \(ABC\) ta có \(MN//BC\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{30}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN = \frac{{30.2}}{3} = 20\)
Vậy \(EF = 10cm;MN = 20cm\).
b) Đổi \(10,8d{m^2} = 1080c{m^2}\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}AH.30 = 1080\left( {c{m^2}} \right)\)
\( \Rightarrow AH = 1080.2:30 = 72cm\)
Ta có: \(AH \bot BC \Rightarrow AH \bot MN\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Do đó, \(KI \bot MN\)
Mà \(KI = \frac{1}{3}AH \Rightarrow KI = \frac{1}{3}.72 = 24cm\)
Tứ giác \(MNFE\) có \(MN//EF\) (cùng song song với \(BC\)) nên tứ giác \(MNFE\) là hình thang.
Lại có: \(KI \bot MN \Rightarrow KI\)là đường cao của hình thang.
Diện tích hình thang \(MNFE\) là:
\({S_{MNFE}} = \frac{1}{2}\left( {EF + MN} \right).KI = \frac{1}{2}.\left( {10 + 20} \right).24 = 360\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích tứ giác \(MNFE\) là \(360c{m^2}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
a) Chứng minh rằng AE = DF.
b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng \(\dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{EC}}{{E{\rm{A}}}}\)
Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên IA, qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt IB tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt IC tại F. Chứng minh rằng: DF//AC
Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\). Đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD, BD, AC\) và \(BC\) theo thứ tự tại các điểm \(M, N, P, Q\).
Chứng minh rằng \(MN = PQ\).
Cho \(M,N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(AB;AC\) của tam giác \(ABC\).
a) Tính các tỉ số \(\frac{{AM}}{{AB}},\frac{{AN}}{{AC}}\);
b) Chứng mình \(MN//BC\);
c) Chứng minh \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\), biết \(DE//BC\) (Hình 2). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\).
B. \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).
C. \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\).
D. \(\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}}\).
Cho \(\Delta ABC\), một đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Qua \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(CD\) cắt \(AB\) tại \(F\). Biết \(AB = 25cm,AF = 9cm,EF = 12cm\), độ dài đoạn \(DC\) là
A. 25cm.
B. 20cm.
C. 15cm.
D. 12cm.
a) Độ cao \(AN\) và chiều dài bóng nắng của các đoạn thẳng \(AN,BN\) trên mặt đất được ghi lại như trong Hình 6. Tính chiều cao \(AB\)của cái cây.
b) Một tòa nhà cao 24m, đổ bóng nắng dài 36m trên đường như Hình 7. Một người cao 1,6m muốn đứng trong bóng dâm của toàn nhà. Hỏi người đó có thể đứng cách tòa nhà xa nhất là bao nhiêu mét?
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại . Qua \(O\), kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) tại \(E\), kẻ đường thẳng song song với \(CD\) cắt \(AD\) tại \(F\).
a) Chứng minh: \(EF//BD\);
b) Từ \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(BC\) tại \(G\) và đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(CD\) tại \(H\). Chứng minh rằng \(CG.DH = BG.CH\).
Cho hình bình hành \(ABCD\). Đường thẳng \(a\) đi qua \(A\) cắt \(BD,BC,DC\) lần lượt tại \(E,K,G\) (Hình 10). Chứng minh rằng:
a) \(A{E^2} = EK.EG\);
b) \(\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\).
Cho hình thang ABCD \(\left( {AB\parallel CD} \right)\) có AB = 4cm, CD = 6cm. Đường thẳng d song song với hai đáy và cắt hai cạnh bên AD, BC của hình thang đó lần lượt tại M, N; cắt đường chéo AC tại P.
a) Chứng minh \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\);
b) Tính độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN; biết rằng MD = 2MA.
Trong Hình 15, cho \(MN\parallel AB,\,\,NP\parallel BC\). Chứng minh \(MP\parallel AC\).
