Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
\(\sqrt {2{x^2} + x + 1} = \sqrt {{x^2} + mx + m - 1} \) (1)
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (Giải BPT \(2{x^2} + x + 1\) ≥ 0).
Bước 2: Bình phương 2 vế của phương trình đã cho thu được phương trình \({x^2} + (1 - m)x - m + 2 = 0\) (2).
Bước 3: Tìm điều kiện để PT (2) có nghiệm thuộc tập xác định rồi kết luận.
Tam thức bậc hai \(2{x^2} + x + 1\) có a = 2 > 0, ∆ = -7 < 0 nên \(2{x^2} + x + 1\) > 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) PT (1) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Bình phương 2 vế của PT (1) ta thu được PT: \({x^2} + (1 - m)x - m + 2 = 0\) (2)
Ta có: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm.
Tam thức bậc hai \({x^2} + (1 - m)x - m + 2\) có ∆ = \({(1 - m)^2} - 4( - m + 2) = {m^2} + 2m - 7\).
PT (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 \( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - 1 - 2\sqrt 2 \) hoặc \(m \ge - 1 + 2\sqrt 2 \).
Vậy với \(m \in \left[ { - \infty ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 1 + 2\sqrt 2 ; + \infty } \right]\) thì PT (1) có nghiệm.
Các bài tập cùng chuyên đề
Luyện tập – vận dụng 1 trang 57 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Giải phương trình: \(\sqrt {3{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + x - 1} \)
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?
A. Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \) là tập nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)
B. Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \) là tập nghiệm của phương trình \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\)
C. Tập nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) là tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \)
D. Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \) là tập nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) thỏa mãn bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) (hoặc \(g\left( x \right) \ge 0\))
Giải thích vì sao chỉ cần kiểm tra nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) thỏa mãn một trong hai bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) hoặc \(g\left( x \right) \ge 0\) mà không cần kiểm tra thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình đó để kết luận nghiệm của phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \).
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt { - 2{x^2} - 9x + 1} \)
b) \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 5} = \sqrt {{x^2} - 7} \)
Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt { - {x^2} - 2x + 2} \).
a) Bình phương hai vế của phương trình để khử căn và giải phương trình bậc hai nhận được.
b) Thử lại các giá trị x tìm được ở câu a có thỏa mãn phương trình đã cho hay không.
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 1} = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3} \)
b) \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt { - 2{x^2} + 5} \)
c) \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 3} = \sqrt { - {x^2} - x + 1} \)
d) \(\sqrt { - {x^2} + 5x - 4} = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2} \)
Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B. cách mình một đoạn 200m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí C trên lề đường (H.6.22) để hai bằng gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Giải phương trình \(\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \).
Lời giải cho phương trình \(\sqrt { - 2{x^2} - 2x + 11} = \sqrt { - {x^2} + 3} \) như sau đúng hai sai?
\(\)\(\sqrt { - 2{x^2} - 2x + 11} = \sqrt { - {x^2} + 3} \)
\( \Rightarrow - 2{x^2} - 2x + 11 = - {x^2} + 3\) (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)
\( \Rightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\) (chuyển vế, rút gọn)
\( \Rightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 4\) (giải phương trình bậc hai)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 và -4
Trong hình bên, các tam giác vuông được xếp với nhau để tạo thành một đường tương tự đường xoắn ốc. Với x bằng bao nhiêu thì \(OA = \frac{1}{2}OC\)?
Giải các phương trình chứa căn thức sau:
a) \(\sqrt {2{x^2} - 6x + 3} = \sqrt {{x^2} - 3x + 1} \).
b) \(\sqrt {{x^2} + 18x - 9} = 2x - 3\).
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt { - {x^2} + 77x - 212} = \sqrt {{x^2} + x - 2} \)
b) \(\sqrt {{x^2} + 25x - 26} = \sqrt {x - {x^2}} \)
c) \(\sqrt {4{x^2} + 8x - 37} = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3} \)
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x - 9} \) (1) là:
A. \(S = {\rm{\{ 2}}\} \)
B. \(S = {\rm{\{ }}5\} \)
C. \(S = \emptyset \)
D. \(S = {\rm{\{ 2}};5\} \)
Giải các phương trình sau:
a) \(2\sqrt {{x^2} + 4x - 7} = \sqrt { - 4{x^2} + 38x - 43} \)
b) \(\sqrt {6{x^2} + 7x - 1} - \sqrt { - 29{x^2} - 41x + 10} = 0\)
Giá trị nào là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 11} = \sqrt { - 2{x^2} - 13x + 16} \)?
A. \(x = - 5\)
B. \(x = \frac{1}{3}\)
C. Cả hai câu A, B đều đúng
D. Cả hai câu A, B đều sai
Khẳng định nào đúng với phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 1} = \sqrt {3{x^2} - 2x - 13} \)?
A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
B. Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
C. Phương trình có một nghiệm
D. Phương trình vô nghiệm
Số nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} $ là:
Tìm số nghiệm của phương trình sau \(\sqrt {2x - 3} = \sqrt {4{x^2} - 15} \)
