Trong không gian Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm \(M\left( {6; - 2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3;1; - 1} \right)\)?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{5}\). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và hai điểm thuộc \(\Delta \).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là

A. \(\left( {1; - 2;3} \right)\).

B. \(\left( {2;1; - 2} \right)\).

C. \(\left( {2;1;2} \right)\).

D. \(\left( {1;2;3} \right)\).

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua \(I\left( {2; - 1;1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương là

A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).

D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua \(I\left( {2;1; - 3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x - 2y + z - 3 = 0\) là

A. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\).

D. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Viết phương trình chính tắc đường thẳng \(\Delta \), biết phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 3 - 5t\\z = 6 + 9t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OM biết M(a; b; c) với \(abc \ne 0\).

Đường thẳng đi qua điểm \(B\left( { - 1;3;6} \right)\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3;8} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:

A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 3}} = \frac{{z + 6}}{8}\).

B. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 6}}{8}\).

C. \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 6}}{8}\).

D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 6}}{8}\).

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{6} = \frac{{z - 1}}{9}\) có một vectơ chỉ phương là:

A. \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;3;1} \right)\).

B. \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {6;3;9} \right)\).

C. \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {3;9;6} \right)\).

D. \(\overrightarrow {{u_4}}  = \left( {1;2;3} \right)\).

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {5;0; - 6} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {3;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(b\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng \(b\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {5; - 3;2} \right)\).

b) Đường thẳng \(b\) đi qua hai điểm \(A\left( {4;7;1} \right)\) và \(B\left( {6;1;5} \right)\).

Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\)?

A. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\)

B. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}\)

C. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)

D. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\)

Đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {5; - 2;9} \right)\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 17;2; - 11} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:

A. \(\frac{{x + 5}}{{ - 17}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 9}}{{ - 11}}\).

B. \(\frac{{x - 17}}{5} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 11}}{9}\).

C. \(\frac{{x - 5}}{{ - 17}} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 11}}\).

D. \(\frac{{x + 17}}{5} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 11}}{9}\).

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 21t\\y = 3 + 5t\\z =  - 6 - 19t\end{array} \right.\).

Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là:

A. \(\frac{{x + 21}}{{ - 2}} = \frac{{y - 5}}{3} = \frac{{z + 19}}{{ - 6}}\).

B. \(\frac{{x + 2}}{{ - 21}} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 6}}{{ - 19}}\).

C. \(\frac{{x + 2}}{{21}} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 6}}{{19}}\).

D. \(\frac{{x - 2}}{{ - 21}} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{{z - 6}}{{ - 19}}\).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y - z - 1 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\). Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là

A. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

B. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

C. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

D. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Lập phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d\) đi qua điểm \(M\left( {9;0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {5; - 11;4} \right)\);

b) \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {6;0; - 1} \right),B\left( {8;3;2} \right)\);

c) \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 1 + 7t\\z = 3 - 6t\end{array} \right.\).

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 6t\\z =  - 2 + 2t\end{array} \right.\).

Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\)?

A. \(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{6} = \frac{{z - 2}}{2}\).

B. \(\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 6}}{3} = \frac{z}{1}\).

C. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\).

D. \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{6} = \frac{{z + 2}}{2}\).

Đường thẳng đi qua điểm \(I\left( {1; - 1; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;3; - 5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

A. \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\).

B. \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 5}}\).

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\).

D. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{{ - 1}}\).

Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.\) và đường thẳng \({d_2}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 5}}\). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z =  - 1\end{array} \right.\), điểm \(M\left( {1;2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z - 1 = 0\).

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\), song song với \(\left( P \right)\) và vuông góc với \({\rm{d}}\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N( - 2;3;1)\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3; - 4;5)\).

a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\).

b) Tìm điểm \(A\) thuộc \(d\) biết \(A\) có hoành độ bằng 4.

Trong không gian Oxyz cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Trong không gian Oxyz cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Trong không gian Oxyz cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Trong không gian Oxyz cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Trong không gian Oxyz cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là