Cho \(S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\).
So sánh \(S\) với \(1\).
- Ta nhận thấy ở mẫu có số \(2\) nên ta tính \(2S\).
- Để tính \(2S\) ta áp dụng công thức: \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\) và \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
- Tính \(S\) bằng cách lấy \(2S-S\), sau đó ta rút gọn và so sánh \(S\) với 1.
Theo đề, ta có:
\(S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\)
Suy ra \(2S = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\)
\(\begin{array}{l}2S = \frac{2}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + ... + \frac{2}{{{2^{2022}}}}\\2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}\end{array}\)
Suy ra \(S = 2S - S\)
\(\begin{array}{l}S = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\\S = 1 - \frac{1}{{{2^{2022}}}}\end{array}\)
Suy ra \(1 - \frac{1}{{{2^{2022}}}} < 1\)
Vậy \(S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}} < 1\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Biết 210 = 1 024. Hãy tính 29 và 211.
Tính: a) 57. 53; b) 58:54
Trái Đất có khối lượng khoảng 60 .1020 tấn. Mỗi giây Mặt Trời tiêu thụ 6. 106 tấn khí hydrogen. Hỏi Mặt Trời cần bao nhiêu giây để tiêu thụ một lượng khí hydrogen có khối lượng bằng khối lượng Trái Đất?
Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:
a) \(3^3 : 3^2\)
b) \(5^{4} : 5^{2}\)
c) \(8^{3} . 8^{2}\)
d) \(5^{4} . 5^{3}: 5^{2}\)
Ghép mỗi phép tính ở cột A với luỹ thừa tương ứng của nó ở cột B.
|
Cột A |
Cột B |
|
a) \({3^7}{.3^3}\) |
1) \({5^{17}}\) |
|
b) \({5^9}:{5^7}\) |
2) \({2^3}\) |
|
c) \({2^{11}}:{2^8}\) |
3) \({3^{10}}\) |
|
d) \({5^{12}}{.5^5}\) |
4) \({5^2}\) |
a) Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một luỹ thừa.
\({5^7}{.5^5};\,\,\,\,\,{9^5}: {8^{10}};\,\,\,{2^{10}}:64.16\)
b) Viết cấu tạo thập phân của các số 4 983; 54 297; 2 023 theo mẫu sau:
\(4983 = 4.1000+ 9. 100+ 8.10+ 3={4.10^3} + {9.10^2} + 8.10 + 3\)
Ước tính có khoảng 100 tỉ nơ-ron thần kinh trong não người. Dù có số lượng rất lớn nhưng các nơ-ron thần kinh chỉ chiếm 10% tổng số tế bào não (nguồn VINMEC.com). Hãy viết các chỉ số nơ-ron thần kinh và số tế bào não trong não người (ước tính) dưới dạng lũy thừa của 10.
Rút gọn mỗi biểu thức sau:
a) A = 1+3+32 +33 +…+399 + 3100 ;
b) B = 2100 – 299 + 298 – 297 +…- 23 +22 – 2 +1.
Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:
a) 74.75.76 ; b) (54:3)7. 324 ;
c) [(8+2)2 . 10100] : (100.1094); d) a9: a9 (\(a \ne 0\))
a) Cho A= 4 +22 +23 +...+22005 . Chứng tỏ rằng A là một lũy thừa cơ số 2.
b) Cho B= 5 + 52 +53 +...+ 52021. Chứng tỏ rằng B+8 không thể là bình phương của 1 số tự nhiên.
So sánh:
a) 26 và 62
b) 73+1 và 73 +1
c) 1314 – 1313 và 1315 – 1314
d) 32+n và 23+n (\(n \in N^*\))
Tính \({5^7}{.5^3};{\rm{ }}{5^8}:{5^4}.\)
Viết kết quả các phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:
a)\(3.3^4.3^5\)
b)\(7^3:7^2:7\)
c)\((x^4)^3\)
Lũy thừa với số mũ tự nhiên có tính chất nào sau đây?
(A) am.an = amn (B) am : an = am.n
(C) am.an = am+n (D) am.an = am-n
Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:
a) \({3^3}:{3^2}\);
b) \({5^4}:{5^2}\);
c) \({8^3}{.8^2}\);
d) \({5^4}{.5^3}:{5^2}\).
Cho biểu thức: \(P = {1992^4} + {2021^{2020}}\). Giá trị của biểu thức \(P\) có chữ số tận cùng là:
Kết quả của phép tính \({5^{2021}}:{5^{2020}}{.5^2}\) viết dưới dạng một lũy thừa là:
Kết quả đúng của phép tính \(2025-\left[ {{{\left( {2021 + 1} \right)}^0} + 3} \right]\) là:
Tính giá trị của biểu thức \(H\), biết \(H = 60:\left[ {7.\left( {{{11}^2}--20.6} \right) + 5} \right]\)
Tìm số tự nhiên \(x\), biết: \(\)\(\left( {{x^2} - 10} \right):5 = 3\)
Tìm \(x\) biết \(2021 - 5.\left( {x + 4} \right) = {1^{2022}}\)
Thực hiện phép tính: \(2023 + 25^{2}: 5^{3}+ 27\). Chọn đáp án đúng nhất.
Kết quả của phép tính \({8^5}:{8.8^3}\) dưới dạng lũy thừa
Mỗi giây cơ thể con người trung bình tạo ra khoảng \(25.10^{5}\) tế bào hồng cầu. Hãy tính mỗi giờ có bao nhiêu tế bào hồng cầu đã được tạo ra?
Tìm số tự nhiên x, biết: \(\left( {x - 12} \right) + 14 = {2^3}.3\)
Kết quả của phép tính \({6^{12}}:{6^{11}} + {2.10^0}-1\) là
Chứng minh rằng
A = \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{10}^2}}} < 1\)
Cho \(B = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}}\)
Tìm số tự nhiên n, biết rằng \(2B + 3 = {3^n}\)
Phép tính \({3^{40}}{.3^{200}}:{3^{50}}\) có kết quả là:
