Chứng minh rằng phân số \(\frac{{3n + 2}}{{5n + 3}}\) tối giản với mọi số tự nhiên n.
- Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. Hay có thể nói ước chung lớn nhất của tử và mẫu là bằng 1.
- Ta tìm \(d = ƯCLN(3n +2; 5n + 3)\)
- Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {3n + 2} \right) \vdots d}\\{\left( {5n + 3} \right) \vdots d}\end{array}} \right.\)
- Ta nhân \(5\) với \(3n+2\) và nhân \(3\) với \(5n+3\) để có thể triệt tiêu \(n\).
- Áp dụng tính chất chia hết của 1 tổng: Nếu \(a \vdots c\) và \(b \vdots c\) thì \((a+b) \vdots c\)
Gọi \(d = ƯCLN(3n +2; 5n + 3)\) (\(d \in {\mathbb{N}^*}\))
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {3n + 2} \right) \vdots d}\\{\left( {5n + 3} \right) \vdots d}\end{array}} \right.\) Hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5.\left( {3n + 2} \right) \vdots d}\\{3.\left( {5n + 3} \right) \vdots d}\end{array}} \right.\) Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{15n + 10 \vdots d}\\{15n + 9 \vdots d}\end{array}} \right.\)
Suy ra \( \left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right] \vdots d\)
Suy ra \( \left( {15n + 10 - 15n - 9} \right) \vdots d\)
Suy ra \( 1 \vdots d\)
Hay \( d = 1\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Hãy cho hai ví dụ về hai số có ƯCLN bằng 1 mà cả hai đều là hợp số.
a) Tìm các ước của 15 và các ước của – 25.
b) Tìm các ước chung của 15 và – 25.
Tìm ƯCLN(90, 10).
Phân số \(\frac{{16}}{{10}}\) đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.
Hai số 24 và 35 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?
Tìm:
a) UC(24,36)
b) UC(60,140)
Tìm:
a) UCLN(3,24)
b) UCLN(8,1,32)
c) UCLN(36,72)
d) UCLN(24, 96, 120)
Tìm ƯCLN của:
a) 35 và 105;
b) 15; 180 và 165.
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên khác 0, không vượt quá 60 sao cho ƯCLN của hai số đó là 17.
Tìm tất cả các số tự nhiên a khác 0 và b khác 0 sao cho a + b = 96 và ƯCLN(a, b) = 16.
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên khác 0, sao cho ƯCLN của hai số đó là 8 và tích của hai số là 384.
Tìm số tự nhiên n để hai số sau nguyên tố cùng nhau:
a) n+2 và n+3;
b) 2n+1 và 9n+4
Cho a,b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng tỏ rằng 5a+2b và 7a+3b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.
\Hãy cho hai ví dụ về hai số có ƯCLN bằng 1 đều là hợp số.
Tìm tất cả các số tự nhiên a và b khác 0 sao cho \(a + b = 90\)và ƯCLN(a,b)=15.
Tìm số tự nhiên \(n\) để: \(\left( {10-2n} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n-2} \right)\)
