Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 9cm,AC = 12cm\) và \(BC = 15cm.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = 4cm\) và trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = 3cm\) . Gọi \(O\) là giao điểm của \(CM\) và \(BN\) . Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABN ∽ \Delta ACM;\)
b) \(\Delta BMO ∽ \Delta CNO;\)
c) \(\Delta BOC ∽ \Delta MON;\)
d) \(CM\) là tia phân giác của góc \(ACB\) và \(\Delta MBN\) cân tại \(M.\)
Dựa vào các trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh.
a) Xét hai tam giác \(ABN\) và tam giác \(ACM\) , ta có:
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AM}} = \frac{3}{4}\)
\(\widehat A\) là góc chung
=> \(\Delta ABN\) ∽ \(\Delta ACM\) (cạnh-góc-cạnh)
b) Xét hai tam giác \(BMO\) và tam giác \(CNO\) , ta có:
\(\widehat {MBO} = \widehat {NCO}\) (do \(\Delta ABN\) ∽ \(\Delta ACM\) )
\(\widehat {MOB} = \widehat {NOC}\) (hai góc đối đỉnh)
=> \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) (góc-góc)
c) Vì \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) , ta có tỉ số đồng dạng:
\(\frac{{OB}}{{OC}} = \frac{{MO}}{{NO}} \Rightarrow \frac{{OB}}{{NO}} = \frac{{OC}}{{NO}}\)
Xét tam giác \(BOC\) và tam giác \(MON\) , ta có:
\(\frac{{OB}}{{NO}} = \frac{{OC}}{{NO}}\)
\(\widehat {MOB} = \widehat {CON}\) (hai góc đối đỉnh)
=> \(\Delta BOC\) ∽ \(\Delta CNO\) (cạnh-góc-cạnh)
d) Xét tam giác \(ABC\) , ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\\\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{4}{5}\\ = > \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{4}{5}\end{array}\)
=> \(CM\) là tia phân giác của tam giác \(ABC\) .
Lại có:
\(\widehat {NCM} = \widehat {MCB}\) (do CM là tia phân giác)
Mà \(\widehat {NCM} = \widehat {MBN}\) (do \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) )
Suy ra \(\widehat {MCB} = \widehat {MBN}\)
Mà \(\widehat {MCB} = \widehat {MNB}\) (do \(\Delta BOC\) ∽ \(\Delta CNO\) )
Suy ra \(\widehat {MBN} = \widehat {MNB}\)
Vậy tam giác \(MBN\) là tam giác cân tại \(M\) .
Các bài tập cùng chuyên đề
Giả thiết nào dưới đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng?
a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia.
b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau.
c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia.
d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.
Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho \(\widehat {ABN} = \widehat {ACM}\)
a) Chứng minh rằng ΔABN ∽ ΔACM
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB.IN=IC.IM
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh ΔHBM ∽ ΔHAN
Tam giác \(ABC\) có độ dài \(AB = 4cm,AC = 6cm,BC = 9cm.\) Tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) và có chu vi bằng 66,5 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác \(A'B'C'\).
Một công viên có hai đường chạy bộ hình tam giác đồng dạng như Hình 15. Kích thước của con đường bên trong lần lượt là 300 m, 350 m và 550 m. Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 600 m. Nam chạy bốn vòng bên trong. Hưng chạy hai vòng bên ngoài. So sánh quãng đường chạy của hai bạn.
a) Từ trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác, xét xem tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\) có \(\widehat B = \widehat N\) thì hai tam giác đó có đồng dạng với nhau không.
b) Từ trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác, xét xem nếu tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\) có \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}\) thì hai tam giác đó có đồng dạng với nhau không.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có hai đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\).
b) Phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(MN\) và \(BC\) lần lượt tại \(I\) và \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).
Trong Hình 6.109, các tam giác nào đồng dạng với tam giác \(ABC?\)
