Hai bảng dưới đây biểu diễn kết quả đo đường kính (tính theo mm) của một số ổ bi được sản xuất bởi các máy X và Y:
a) Ước tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của đường kính các ổ bi được sản xuất bởi mỗi máy.
b) Biết rằng đường kính mong muốn cho các ổ bi là 30,4 mm. Hãy phân tích chất lượng sản phẩm do mỗi máy sản xuất.
a) Áp dụng các công thức sau:
- Công thức tính trung bình:
\(\bar x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{f_i}} \right)} }}{N}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {\overline {{x^2}} - {{\left( {\bar x} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}x_i^2} }}{N} - {{\left( {\bar x} \right)}^2}} \)
b) So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn với giá trị mong muốn (30,4 mm) để đánh giá sự chính xác và độ phân tán của sản phẩm.
Bảng phân phối tần số cho máy X và Y:
Dựa vào bảng phân phối ta thấy N = 60.
Giá trị trung bình của máy X:
\({\bar x_X} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}} \times {x_i} = \frac{{2 \times 28,5 + 23 \times 29,5 + 25 \times 30,5 + 7 \times 31,5 + 3 \times 32,5}}{{60}} = \frac{{1816}}{{60}} \approx 30,27\)
Độ lệch chuẩn của máy X:
\({S_X} = \sqrt {\overline {x_X^2} - {{\left( {{{\bar x}_X}} \right)}^2}} \)
\(\overline {x_X^2} = \frac{{\sum {{f_i}x_i^2} }}{N} = \frac{{2 \times 28,{5^2} + 23 \times 29,{5^2} + 25 \times 30,{5^2} + 7 \times 31,{5^2} + 3 \times 32,{5^2}}}{{60}} = \frac{{55011}}{{60}} = 916,85\)
\({S_X} = \sqrt {916,85 - 30,{{27}^2}} = \sqrt {0,78} \approx 0,88\)
Giá trị trung bình của máy Y:
\({\bar x_Y} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}} \times {x_i} = \frac{{9 \times 28,5 + 8 \times 29,5 + 20 \times 30,5 + 17 \times 31,5 + 6 \times 32,5}}{{60}} = \frac{{1833}}{{60}} = 30,55\)
Độ lệch chuẩn của phương pháp B:
\({S_Y} = \sqrt {\overline {x_Y^2} - {{\left( {{{\bar x}_Y}} \right)}^2}} \)
\(\overline {x_Y^2} = \frac{{\sum {{f_i}x_i^2} }}{N} = \frac{{9 \times 28,{5^2} + 8 \times 29,{5^2} + 20 \times 30,{5^2} + 17 \times 31,{5^2} + 6 \times 32,{5^2}}}{{60}} = \frac{{56083}}{{60}} \approx 934,72\)
\({S_Y} = \sqrt {934,72 - 30,{{55}^2}} = \sqrt {1,4175} \approx 1,19\)
b)
Phân tích chất lượng sản phẩm:
- Máy X: Như đã tính trước đó, giá trị trung bình là 30.27 mm và độ lệch chuẩn là 0.88 mm.
- Máy Y: Với giá trị trung bình mới là 30.55 mm và độ lệch chuẩn là 1.19 mm.
Kết luận:
- Máy X sản xuất sản phẩm có đường kính trung bình gần với giá trị mong muốn hơn (30,27 mm so với 30,4 mm), với độ lệch chuẩn nhỏ hơn, cho thấy sản phẩm đều hơn.
- Máy Y có giá trị trung bình lớn hơn 30,4 mm (30,55 mm), và độ lệch chuẩn cũng lớn hơn, cho thấy sản phẩm có sự biến thiên lớn hơn về kích thước, chất lượng không đồng đều bằng sản phẩm của máy X.
Do đó, sản phẩm của máy X vẫn được đánh giá là có chất lượng tốt hơn so với máy Y.
Các bài tập cùng chuyên đề
Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau:
a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?
Thời gian chạy tập luyện cự li 100m của hai vận động viên được cho trong bảng sau: 
Dựa trên độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.
Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao?
a) Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương.
b) Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và doanh thu của 100 siêu thị.
Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao?
a) Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương.
b) Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và doanh thu của 100 siêu thị.
Trong bài thực hành đo hiệu điện thế của mạch điện, An và Bình đã dùng hai vôn kế khác nhau để đo, mỗi bạn tiến hành đo 10 lần cho kết quả như sau: 
Tính độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm cho kết quả số đo của An và Bình. Từ đó kết luận xem vôn kết của bạn nào cho kết quả ổn định hơn.
Bảng 19, Bảng 20 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của hai công ty A, B (đơn vị: triệu đồng)
a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lần lượt biểu diễn mức lương của hai công ty A,B
b) Công ty nào có mức lương đồng đều hơn?
Mai và Ngọc cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân hai bạn đi mỗi ngày trong một tháng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:
a) Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn nào có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn?
Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B. Người ta thống kê đường kính thân của một số cây xoan đào 5 năm tuổi ở bảng sau:
a) Hãy so sánh đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A và địa điểm B.
b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm nào có đường kính đồng đều hơn?
Để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê so với số trung bình, ta dùng đại lượng nào sau đây?
Khẳng định nào sau đây sai?
Độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm sau đây cho biết điều gì?
a) Mẫu số liệu ghép nhóm về thành tích 20 lần luyện tập (đơn vị tính là phút) của một vận động viên chạy cự li 1 000 mét.
b) Mẫu số liệu ghép nhóm về kết quả 20 lần đo khoảng cách từ Trái Đất đến một ngôi sao (đơn vị là năm ánh sáng) khi dùng một thiết bị đo mới được chế tạo.
Chị Yến thống kê lại thời gian chạy cự li 200 m của mình ở một số lần luyện tập trong năm 2022 và 2023 như sau:
a) Hãy tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán thời gian chạy mỗi năm của chị Yến (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).
b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?
Bộ phận kiểm tra chất lượng sản phẩm dùng máy để đo (chính xác đến 0,001 mm) độ dày của một chi tiết máy. Kết quả đo một số sản phẩm được thống kê trong bảng sau:
a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của độ dày chi tiết máy.
b) Giải thích tầm quan trọng của việc có độ lệch chuẩn nhỏ trong trường hợp này.
Bảng dưới đây tổng hợp thời gian hoàn thành bài kiểm tra IQ của 50 học sinh lớp 9:
Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả tìm được.
