Tính:

a) $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx}$;

b) $\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx}$;

c) $\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx}$;

d) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx}$.

Tính tích phân $\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^2}}}} dx$ có giá trị bằng:

A. $\frac{1}{6}$

B. $- \frac{1}{6}$

C. $\frac{{19}}{{648}}$

D. $- \frac{{19}}{{648}}$

Tích phân $\int\limits_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} {\sin xdx}$ có giá trị bằng:

Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}dx}$ có giá trị bằng:

A. $- \frac{1}{{\ln 3}}$

B. $\frac{1}{{\ln 3}}$

C. -1

D. 1

Tính:

a) $\int\limits_0^1 {({x^6} - 4{x^3} + 3{x^2})dx}$

b) $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^4}}}dx}$

c) $\int\limits_1^4 {\frac{1}{{x\sqrt x }}dx}$

d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(4\sin x + 3\cos x)dx}$

e) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}xdx}$

g) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}xdx}$

h) $\int\limits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx}$

i) $\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {{e^{x + 2}}dx}$

k) $\int\limits_0^1 {({{3.4}^x} - 5{e^{ - x}})dx}$

a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi $t \in [a;b]$. Hãy giải thích vì sao $\int\limits_a^b {v(t)dt}$ biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a,b tính theo giây).

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sint (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm $t = \frac{{3\pi }}{4}$ (s).

Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9.

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên

Ở nhiệt độ $37^\circ C$, một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: $A \to B$. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol ${L^{ - 1}}$) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với $x \ge 0$, thỏa mãn hệ thức $y'(x) =  - {7.10^{ - 4}}y(x)$ với $x \ge 0$. Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol ${L^{ - 1}}$.

a) Xét hàm số $f(x) = \ln y(x)$ với $x \ge 0$. Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol ${L^{ - 1}}$) từ thời điểm a(giây) đến thời điểm b(giây) với 0 < a < b theo công thức $\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {y(x)dx}$. Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_1^2 {{x^4}dx}$

b) $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx}$

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}$

d) $\int\limits_0^2 {{3^x}dx}$

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}dx}$;

b) $\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx}$.

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^2 {\left| {2x - 1} \right|dx}$;

b) $\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x - 1} \right|dx}$.

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\cos x + 2\sin x} \right)dx}$;

b) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$.

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^1 {\left( {{3^x} - 2{e^x}} \right)dx}$;

b) $\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}}}{{2{e^x}}}dx}$.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int\limits_a^b {\sin xdx}  = \sin a - \sin b$.

B. $\int\limits_a^b {\sin xdx}  = \sin b - \sin a$.

C. $\int\limits_a^b {\sin xdx}  = \cos a - \cos b$.

D. $\int\limits_a^b {\sin xdx}  = \cos b - \cos a$.

Phát biểu nào sau đây là đúng? Biết $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$.

A. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  = \cot a - \cot b$.

B. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  = \cot b - \cot a$.

C. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  = \tan a - \tan b$.

D. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  = \tan b - \tan a$.

Tích phân $\int\limits_1^2 {\frac{{ - 3}}{{{x^3}}}dx}$ có giá trị bằng:

A. $\frac{9}{8}$.

B. $- \frac{{45}}{{64}}$.

C. $\frac{{15}}{8}$.

D. $- \frac{9}{8}$.

Tích phân $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{x\sqrt x }}dx}$ có giá trị bằng:

A. $2 - \sqrt 2$.

B. $2 + \sqrt 2$.

C. $\frac{{ - \sqrt 2  + 8}}{{20}}$.\

D. $\frac{{ - \sqrt 2  - 8}}{{20}}$.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int\limits_a^b {\cos xdx}  = \sin a - \sin b$.

B. $\int\limits_a^b {\cos xdx}  = \sin b - \sin a$.

C. $\int\limits_a^b {\cos xdx}  = \cos a - \cos b$.

D. $\int\limits_a^b {\cos xdx}  = \cos b - \cos a$.

Phát biểu nào sau đây là đúng? Biết $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$.

A. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \cot a - \cot b$.

B. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \cot b - \cot a$.

C. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan a - \tan b$.

D. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan b - \tan a$.

Cho $m$ thoả mãn $m > 0,m \ne 1$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int\limits_a^b {{m^x}dx}  = {m^b} - {m^a}$.

B. $\int\limits_a^b {{m^x}dx}  = {m^a} - {m^b}$.

C. $\int\limits_a^b {{m^x}dx}  = \frac{{{m^b}}}{{\ln m}} - \frac{{{m^a}}}{{\ln m}}$.

D. $\int\limits_a^b {{m^x}dx}  = \frac{{{m^a}}}{{\ln m}} - \frac{{{m^b}}}{{\ln m}}$.

Tính:

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}$;

b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos xdx}$;

c) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}$;

d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}$;

e) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - 2} \right)dx}$;

g) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3\cos x + 2} \right)dx}$.

Tính:

a) $\int\limits_0^2 {{e^{ - 5{\rm{x}}}}dx}$;

b) $\int\limits_0^1 {{3^{x + 2}}dx}$;

c) $\int\limits_{ - 1}^1 {{3^{2{\rm{x}}}}dx}$.

Tính:

a) $\int\limits_0^1 { - 2dx}$;

b) $\int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{3}dx}$;

c) $\int\limits_0^1 {{x^4}dx}$;

d) $\int\limits_1^3 {2\sqrt[3]{x}dx}$;

e) $\int\limits_1^2 {\frac{2}{{3x}}dx}$;

g) $\int\limits_1^9 {\left( {x\sqrt x  - 2} \right)dx}$.

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^2 {\left( {3x - 2} \right)\left( {3x + 2} \right)dx}$;

b) $\int\limits_1^2 {{t^2}\left( {5{t^2} - 2} \right)dt}$;

c) $\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)dx}$.

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_1^2 {\frac{{1 - 2{\rm{x}}}}{{{x^2}}}dx}$;

b) $\int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)}^2}dx}$;

c) $\int\limits_1^4 {\frac{{x - 4}}{{\sqrt x  + 2}}dx}$.

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_1^3 {{e^{x - 2}}dx}$;

b) $\int\limits_0^1 {{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}dx}$;

c) $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx}$.

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^\pi  {\left( {2\cos x + 1} \right)dx}$;

b) $\int\limits_0^\pi  {\left( {1 + \cot x} \right)\sin xdx}$;

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}xdx}$.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = \frac{{\sqrt x  - 1}}{x},x > 0$. Tính giá trị của $f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right)$.

Tìm đạo hàm của hàm số $F\left( x \right) = \sqrt {4x + 1}$. Từ đó, tính tích phân $\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}dx}$.

Tính

a) $\int\limits_1^3 {{x^3}dx;}$

b) $\int\limits_0^\pi  {\cos udu.}$

a) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[ - 1;5]$ và $$\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12$$ . Tính $\int_{ - 1}^5 f (x)dx$.

b) Cho $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 2}&{{\rm{khi }}x >  - 1}\\{2x + 3}&{{\rm{khi }}x \le  - 1}\end{array}} \right.$. Tính $\int_{ - 2}^1 f (x)dx$.