Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I\), \(J\),\(K\), \(L\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\), \(SAD\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(I\), \(J\),\(K\), \(L\) đồng phẳng và tứ giác \(IJKL\) là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng \(JL\parallel {\rm{CD}}\).
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
a) Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).
Chứng minh rằng \(MNPQ\) là hình bình hành. Chứng minh rằng \(IJ\parallel LK\) và \(IJ = LK\), để suy ra tứ giác \(IJLK\) là hình bình hành.
b) Chứng minh \(JL\) và \(CD\) cùng song song với \(NQ\), từ đó suy ra \(JL\parallel CD\).
c) Từ kết quả câu b, và sử dụng tính chất “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó” để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
a) Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).
Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Suy ra \(MN\parallel AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\).
Tương tự ta có \(PQ\parallel AC\) và \(PQ = \frac{1}{2}AC\).
Suy ra \(MN\parallel PQ\) và \(MN = PQ\). Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
Ta có \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\), nên suy ra \(I \in SM\) và \(\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{2}{3}\).
Chứng minh tương tự ta cũng có \(J \in SN\) và \(\frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).
Tam giác \(SMN\) có \(\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{2}{3}\), theo hệ quả của định lí Thales ta suy ra \(IJ\parallel MN\) và \(\frac{{IJ}}{{MN}} = \frac{2}{3}\).
Chứng minh tương tự ta cũng có \(LK\parallel PQ\) và \(\frac{{LK}}{{PQ}} = \frac{2}{3}\).
Từ đó ta suy ra \(IJ\parallel LK\) và \(IJ = LK\). Vậy bốn điểm \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) đồng phẳng và tứ giác \(IJLK\) là hình bình hành.
b) Ta có \(L\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\), nên suy ra \(L \in SQ\) và \(\frac{{SL}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(\frac{{SL}}{{SQ}} = \frac{{SJ}}{{SN}}\), tức là \(JL\parallel NQ\).
Mặt khác \(N\) là trung điểm của \(BC\),\(Q\) là trung điểm của \(DA\) nên suy ra \(NQ\parallel CD\).
Vậy \(JL\parallel CD\).
c) Xét hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\), ta có \(JL\parallel CD\), \(JL \in \left( {IJKL} \right)\), \(CD \in \left( {SCD} \right)\).
Hơn nữa \(K \in \left( {IJKL} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) và \(K \notin JL\), \(K \notin CD\)
Xét hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\), ta có \(K \in \left( {IJKL} \right) \cap \left( {SCD} \right)\), tức là \(K\) nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Hơn nữa, \(K \notin JL\), \(K \notin CD\), nên \(JL\) và \(CD\) không là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
Mặt khác, ta có \(JL\parallel CD\), \(JL \in \left( {IJKL} \right)\), \(CD \in \left( {SCD} \right)\) nên giao tuyến của \(\left( {IJKL} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\) là một đường thẳng đi qua \(K\) và song song với \(CD\). Trên hình vẽ, giao tuyến của chúng là đường thẳng \(EF\) đi qua \(K\) và song song với \(CD\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD (H.4.28)
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD).
b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB). Chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác SCD.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.
a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD)
b) Chứng minh rằng d song song với BD
(Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao?
Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SO\). Mặt phẳng \(\left( {ICD} \right)\) cắt \(SA,SB\) lần lượt tại \(M,N\).
a) Hãy nói cách xác định hai điểm \(M\) và \(N\). Cho \(AB = a\). Tính \(MN\) theo \(a\).
b) Trong mặt phẳng \(\left( {CDMN} \right)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\). Chứng minh \(SK\parallel BC\parallel AD\).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt $a,\,\,b,\,\,c$ trong đó $a\,{\text{//}}\,b$. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\). Gọi \(G\), \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SAD\); \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(CD\). Chứng minh rằng \(GK\parallel MN\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\), \(Q\) lần lượt thuộc các cạnh \(CD\), \(BC\) (\(P\), \(Q\) không trùng với \(B\), \(C\), \(D\)). Chứng minh rằng nếu \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng thuộc một mặt phẳng thì \(PQ\) song song với \(BD\).
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (CMQ).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (ABD).
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (CMQ) và (BCD).
d) Chứng minh rằng các giao tuyến ở trên đôi một song song với nhau.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai hình bình hành đó. Chứng minh rằng ba đường thẳng GH, CE, DF đôi một song song.
Cho hình chóp ngũ giác S.ABCDE. Giả sử AB song song với DE.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBE).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE).
c) Giả sử giao tuyến của hai mặt phẳng (SAE) và (SBC) song song với đường thẳng AE. Chứng minh AE//BC
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(ABD.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,\,N$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AB,\,AC$ sao cho $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$; $I,\,J$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $CD.$
Khẳng định nào sau đây đúng?
