Tìm các giới hạn sau:
a) limx→+∞xx+4;
b) limx→−∞2x2+1(2x+1)2;
c) limx→−∞3x+1√x2−2x;
d) limx→+∞(x−√x2+2x).
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho limx→±∞f(x)=L,limx→±∞g(x)=M, khi đó: limx→±∞[f(x)±g(x)]=L±M, limx→+∞f(x)g(x)=LM
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: limx→±∞c=c,limx→±∞cxk=0 (với c là hằng số, k là số nguyên dương)
a) limx→+∞xx+4 =limx→+∞11+4x =11+4limx→+∞1x =11+4.0 =1;
b) limx→−∞2x2+1(2x+1)2 =limx→−∞2+1x2(2+1x)2 =2+limx→−∞1x2(2+limx→−∞1x)2 =2+0(2+0)2 =12;
c) Với x<0 thì √x2 =|x| =−x.
limx→−∞3x+1√x2−2x =limx→−∞x(3+1x)−x√1−2x =3+limx→−∞1x−√1−limx→−∞2x =3+0−√1−0 =−3;
d) limx→+∞(x−√x2+2x) =limx→+∞(x−√x2+2x)(x+√x2+2x)x+√x2+2x =limx→+∞−2xx+√x2+2x
=limx→+∞−21+√1+2x =−21+√1+limx→+∞2x =−21+√1+0 =−1.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác vuông OAB với A=(a;0) và B=(0;1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.
a) Tính h theo a,.
b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
Tính: limx→+∞√x2+2x+1.
Cho hàm số f(x)=1+2x−1 có đồ thị như Hình 5.4.
Giả sử (xn) là dãy số sao cho xn>1,xn→+∞. Tính f(xn) và limn→+∞f(xn).
Tính các giới hạn sau:
a) limx→+∞1−2x√x2+1
b) limx→+∞(√x2+x+2−x)
Cho hàm số f(x)=√x+1−√x+2. Mệnh đề đúng là
A. limx→+∞f(x)=−∞
B. limx→+∞f(x)=0
C. limx→+∞f(x)=−1
D. limx→+∞f(x)=−12
Tính limx→−∞3x+24x−5.
Cho hàm số f(x)=1x(x≠0) có đồ thị như ở Hình 7. Quan sát đồ thị đó và cho biết:
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.
Một cái hồ đang chứa 200m3 nước mặn với nồng độ muối 10kg/m3. Người ta ngọt hóa nước trong hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 2m3/phút.
a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.
b) Tìm giới hạn limt→+∞C(t) và giải thích ý nghĩa.
Tìm các giới hạn sau:
a) limx→+∞1−3x2x2+2x;
b) limx→−∞2x+1.
Cho hàm số f(x)=1x có đồ thị như Hình 3.
a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:
Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới +∞)?
b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:
Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới −∞)?
Tìm các giới hạn sau:
a) limx→+∞4x+32x;
b) limx→−∞23x+1;
c) limx→+∞√x2+1x+1.
limx→+∞2x−1x bằng:
A. 2.
B. ‒1.
C. 0.
D. 1.
Tìm các giới hạn sau:
a) limx→+∞−x+2x+1;
b) limx→−∞x−2x2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) có limx→+∞f(x)=3 và limx→+∞[f(x)+2g(x)]=7. Tìm limx→+∞2f(x)+g(x)2f(x)−g(x)
Biết rằng limx→+∞f(x)=2,limx→+∞(f(x)+2g(x))=4. Giới hạn limx→+∞f(x)−2g(x)f(x)+2g(x) bằng
A. −1.
B. 0.
C. 12.
D. −12.
Biết rằng limx→+∞2ax√x2+ax+x=3. Giá trị của a là
A. 34.
B. 6.
C. 32.
D. 3.
Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì
A. limx→+∞cxk=0
B. limx→+∞cxk=+∞
C. limx→+∞cxk=−∞
D. limx→+∞cxk=+∞ hoặc limx→+∞cxk=−∞
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn>a và xn→+∞, ta có f(xn)→L thì limx→+∞f(x)=L.
B. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn<a và xn→+∞, ta có f(xn)→L thì limx→+∞f(x)=L.
C. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn>a, ta có f(xn)→L thì limx→+∞f(x)=L.
D. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn>a và xn→L, ta có f(xn)→+∞ thì limx→+∞f(x)=L.
Cho hàm số f(x) thoả mãn limx→+∞f(x)=2022. Tính limx→+∞xf(x)x+1.
limx→+∞f(x) bằng:
A. 2
B. 1
C. +∞
D. −∞
Một bể chứa 5000l nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25l/phút.
a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút (tính bằng khối lượng muối chia thể tích nước trong bể, đơn vị: g/l) là C(t)=30t200+t.
b) Tính limt→+∞C(t) và cho biết ý nghĩa của kết quả đó.
Cho hàm số f(x)=√x2−x+2x. Tính
a) limx→+∞f(x).
b) limx→−∞f(x).
Cho hàm số g(x)=√x2+2x−√x2−1−2m với m là tham số. Biết limx→+∞g(x)=0, tìm giá trị của m.
Cho hàm số f(x)=sin2xx2. Chứng minh rằng limx→+∞f(x)=0.
Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x)=2x+55 (triệu đồng).
a) Tìm hàm số f(x) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.
b) Tính limx→+∞f(x). Giới hạn này có ý nghĩa gì?
Biết limn→+∞2n2+n−1an2+1=1 với a là tham số. Giá trị của a2−2a là
A.−1
B. 0
C. 2
D. Không xác định
Cho hàm số f(x) thỏa mãn limx→1+f(x)=2 và limx→1−f(x)=m+1. Biết giới hạn của f(x) khi x→1 tồn tại. Giá trị của m là
A. m=1
B. m=2
C. m=3
D. Không tồn tại m.
Giới hạn limx→−∞√x2+2−xx là
A. +∞
B. 0
C. - 2
D. Không tồn tại.
Tìm a là số thực thỏa mãn limx→+∞(2x2+1x2+2x+3+a2+3a)=0.
Nghiên cứu về quá trình tăng trưởng của một quần thể sinh vật trong điều kiện môi trường sống hạn chế cho thấy: ban đầu số lượng cá thể tăng trưởng chậm, sau đó nhanh và cuối cùng khi thời gian đủ dài, số lượng cá thể của quần thể đạt đến trạng thái cân bằng, khi đó số lượng cá thể sinh ra xấp xỉ bằng số lượng chết đi. Số lượng cá thể N trong quần thể theo thời gian t (ngày) được mô hình hóa và xấp xỉ theo hàm số: N(t)=16398e0,5(t−9,19)0,12+e0,5(t−9,19). Khi quần thể sinh vật trên đạt trạng thái cân bằng, số cá thể của quần thể gần nhất với giá trị nào sau đây?