Một dãy số \(({u_n})\) được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi
\({u_1} = a,\,\,{u_{n + 1}} = q{u_n} + d\)
Nếu \(q = 1\) ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu \(d = 0\) ta có cấp số nhân với công bội q.
a) Giả sử \(q \ne 1\). Dự đoán công thức số hạng tổng quát \({u_n}\).
b) Thiết lập công thức tính tổng \({S_n}\)của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng \(({u_n})\).
Viết lần lượt số hạng của dãy để thấy được công thức tổng quát
Ta viết lần lượt các số hạng của dãy
\(\begin{array}{l}{u_1} = a,\,\\{u_2} = q{u_1} + d\\{u_3} = q{u_2} + d = q\left( {q{u_1} + d} \right) + d = {q^2}{u_1} + d\left( {q + 1} \right)\\{u_4} = q{u_3} + d = q\left( {{q^2}{u_1} + d\left( {q + 1} \right)} \right) + d = {q^3}{u_1} + d\left( {{q^2} + q + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {q^3}{u_1} + d\frac{{1 - {q^3}}}{{1 - q}}.\end{array}\)
Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát
\({u_n}\, = {q^{n - 1}}{u_1} + d\frac{{1 - {q^{n - 1}}}}{{1 - q}}.\)
b) Ta viết tổng n số hạng như sau:
\(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1} + \left( {q{u_1} + d} \right) + \left( {q{u_2} + d} \right) + ...\left( {q{u_{n - 1}} + d} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + q{S_{n - 1}} + (n - 1)d\end{array}\)
Vậy ta được \({S_n}\) cũng là một cấp số nhân cộng với \({S_1} = {u_1}\)
Áp dụng công thức của cấp số nhân cộng ở câu a, ta được
\({S_n}\, = {q^{n - 1}}{S_1} + d\frac{{1 - {q^{n - 1}}}}{{1 - q}} = {q^{n - 1}}{u_1} + d\frac{{1 - {q^{n - 1}}}}{{1 - q}}.\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Chứng minh rằng:
a) Trong một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) với \(k \ge 2\).
b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) với \(k \ge 2\).
Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2;3;9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.
Ba số \(\frac{2}{{b - a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Ba số \(\frac{2}{{b - a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Cho ba số \(\frac{2}{{b - a}}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.
Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.
A. 40
B. 30
C. 20
D. 10.
Trong các dãy số (\({u_n}\)) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.
a) \({u_1} = 2,\,\,{u_{n + 1}} = {u_n} + n\)
b) \({u_n} = 6n + 3\)
c) \({u_1} = 1,\,\,{u_{n + 1}} = {u_n}.n\)
d) \({u_n} = {3.5^n}\).
Chứng minh rằng:
a) Nếu \({a_1},{a_2},{a_3}...\)và \({b_1},{b_2},{b_3}...\) là hai cấp số cộng thì \({a_1} + {b_1},{a_2} + {b_2},{a_3} + {b_3}...\) cũng là cấp số cộng.
b) Nếu \({a_1},{a_2},{a_3}...\)và \({b_1},{b_2},{b_3}...\) là hai cấp số cộng thì \({a_1}{b_1},\,\,{a_2}{b_2},\,\,{a_3}{b_3}...\) cũng là cấp số nhân.
Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.
Anh Nam là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp, Anh vừa kí hợp đồng 5 năm với một câu lạc bộ với mức lương năm khởi điểm là 300 triệu đồng. Chủ tịch câu lạc bộ đưa ra cho anh Nam ba phương án về lương như sau:
- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng.
- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.
- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó kể từ năm thứ hai.
Em hãy tính giúp anh Nam xem với phương án lương nào thì tổng lương sau 5 năm của anh Nam là lớn nhất?
a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3;\,\,{u_6} = 27\). Tính \({u_{12}}.\)
b) Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao \(10\) m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \(\frac{3}{4}\) độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.a
Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = 3n + 6\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 3\).
B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 6\).
C. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 3\).
D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 6\).
Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay không. Tìm số hạng đầu tiên và công sai/công bội nếu có.
a) \({u_n} = 5n - 7\);
b) \({u_n} = 9 \cdot {2^n}\);
c) \({u_n} = {n^2} - n + 1\).
Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 2 - n\end{array} \right.,\forall n \ge 2\).
