Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB\) và \(CF = \frac{1}{3}CD\). Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \);
b) \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \);
c) \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).
Ý a và ý b: Sử dụng phép cộng, trừ vectơ, tính chất của phép cộng, phép trừ đó (giao hoán, kết hợp), cộng hai vectơ đối với nhau. Ngoài ra còn cần lựa chọn điểm trung gian trong các điểm đã cho sẵn một cách phù hợp để xuất hiện các vectơ mình muốn, các vectơ đối cũng như xuất hiện công thức trong đề. Cụ thể ta sẽ biến đổi một vế để đưa về vế còn lại, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ý c: kết hợp ý a và ý b để chứng minh ý c, có thể nhân thêm rồi cộng hai vế với nhau để chứng minh.
a) Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} = - \overrightarrow {AE} + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF} } \right) = - \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AD} + \left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CF} } \right)\\ = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CF} = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)
c) Từ ý a và ý b suy ra
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\\ = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {BC} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \end{array}\)
Do đó \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \) (đ.p.c.m).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right)\).
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C;} \)
b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BC;} \)
c) \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'A'} \).
Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho \(SM = 2AM\). Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho \(CN = 2BN\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {AB} \).
Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {DG} = \overrightarrow 0 \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
C. \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow {BG} \).
D. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ \(\overrightarrow {AM} \) bằng
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).
C. \(\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).
D. \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB'} \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
C. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AD'} \).
D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AC'} \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \).
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\);
b) Nếu \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\) thì \(AD \bot BC\).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.
Một lực tĩnh điện \(\overrightarrow F \) tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MNP (Hình 29). Biết \(q = {2.10^{ - 12}}C\), vectơ điện trường có độ lớn \(E = 1,{8.10^5}\)N/C và d = MH = 5mm. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện \(\overrightarrow F \).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là?
Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Xét các vecto \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \); \(\overrightarrow y = - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \); \(\overrightarrow z = - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c \). Chọn khẳng định đúng?
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^o}\). Hãy xác định góc giữa cặp vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3\). Độ dài vecto \(3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b \) là?
Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN,SC) bằng
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne 0\). Xác định góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {EG} \)?
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\), \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Chọn khẳng định đúng?
Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được 3 km với một lực kéo có cường độ 2000 N và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc \({30^ \circ }\). Tính công thực hiện bởi lực kéo nói trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của Jun).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(x,y,z\) theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) với các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \).
Chứng minh \({\cos ^2}x + {\cos ^2}y + {\cos ^2}z = 1\).
Tính độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây cáp trong Hình 16. Cho biết khối lượng xe là 1900 kg, gia tốc là 10 m/s, khung nâng có khối lượng 100 kg và có dạng hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\), \(AB=8m,BC=12m,SC=12m\) và \(SO\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của Newton.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {EF} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} \);
b) \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \).
Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng 10 lên tầng 26 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 26 xuống tầng 18. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vectơ đó.
Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân bàn vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow u \)) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ \(\overrightarrow x ,{\rm{ }}\overrightarrow y ,{\rm{ }}\overrightarrow z \)). Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow x = \overrightarrow y = \overrightarrow z = - \frac{1}{3}\overrightarrow u \).
