Cho hình bình hành \(ABCD\). Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông \(ABEF\) và \(ADGH\) (Hình 26). Chứng minh:
a) \(\Delta AHF = \Delta ADC\)
b) \(AC \bot HF\).
Dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác và tính chất của hình vuông:
Trong một hình vuông,
- Các cạnh đối song song
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.
Gọi \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(HF\)
a) Do \(ABEF\) và \(ADGH\) đều là hình vuông nên\(\widehat {BAF} = \widehat {DAH} = 90^\circ ,AH = BA,AH = DA\)
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BA = DC\). Suy ra \(AF = DC\)
Ta chứng minh được \(\widehat {HAF} + \widehat {DAB} = 180^\circ \) và \(\widehat {ADC} + \widehat {DAB} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HAF} = \widehat {ADC}\)
Xét hai tam giác \(HAF\) và \(ADC\), ta có: \(AH = DA,\widehat {HAF} = \widehat {ADC},AF = DA\)
Suy ra \(\Delta HAF = \Delta ADC\) (c.g.c)
b) Ta có: \(\widehat {HAK} + \widehat {DAH} + \widehat {DAC} = \widehat {CAK} = 180^\circ \) và \(\widehat {DAH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HAK} + \widehat {DAC} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {AHF} = \widehat {DAC}\) (vì \(\Delta HAF = \Delta ADC\)), suy ra \(\widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 90^\circ \)
Trong tam giác \(AHK\), ta có: \(\widehat {AKH} + \widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 180^\circ \). Suy ra \(\widehat {AKH} = 90^\circ \)
Vậy \(AK \bot HK\) hai \(AC \bot HF\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N.
Chứng minh DM + BN = MN.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Giải thích tại sao \(ABCD\) là hình vuông trong mỗi trường hợp sau:
Trường hợp 1: \(AB = BC\)
Trường hợp 2: \(AC\) vuông góc với \(BD\)
Trường hợp 3: \(AC\) là đường phân giác của góc \(BAD\)
a) Mỗi hình vuông có là một hình chữ nhật hay không?
b) Mỗi hình vuông có là một hình thoi hay không?
Cho hình vuông ABCD. Tính số đo các góc CAB, DAC.
Từ tính chất của hình chữ nhật và hình thoi, em hãy nêu tính chất của đường chéo hình vuông.
Tính độ dài cạnh của hình vuông có đường chéo bằng \(5\,cm.\)
Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N. Chứng minh DM + BN = MN.
Cho hình vuông ABCD. Với điểm M nằm giữa C và D, kẻ tia phân giác của góc DAM; nó cắt CD ở N. Đường thẳng qua N vuông góc với AM cắt BC ở P. Tính số đo của góc NAP.
Cho hình vuông ABCD với tâm O và có cạnh bằng 2cm. Hai tia Ox, Oy tạo thành góc vuông. Tính diện tích của phần hình vuông nằm bên trong góc xOy.
