Thu gọn các biểu thức sau:
a) \(\frac{{16 - {a^2}}}{{{a^2} + 8a + 16}}:\frac{{a - 4}}{{2a + 4}}.\frac{{a + 4}}{{a + 2}}\);
b) \(\frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}.\frac{{a + b}}{{{a^3} + {b^3}}}:\frac{{a + b}}{{a - b}}\);
c) \(\left( {\frac{{2a}}{{a - 2}} - \frac{a}{{a + 2}}} \right).\frac{{{a^2} - 4}}{a}\);
d) \(\left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{ab}}} \right).\frac{{a{b^2}}}{{a - b}}\).
+ Sử dụng kiến thức nhân hai phân thức để tính: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau: \(\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\)
+ Sử dụng kiến thức chia hai phân thức để tính: Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\) (C khác đa thức không), ta nhân phân thức \(\frac{A}{B}\) với phân thức \(\frac{D}{C}\): \(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}.\frac{D}{C}\)
a) \(\frac{{16 - {a^2}}}{{{a^2} + 8a + 16}}:\frac{{a - 4}}{{2a + 4}}.\frac{{a + 4}}{{a + 2}} = \frac{{\left( {4 - a} \right)\left( {a + 4} \right)}}{{{{\left( {a + 4} \right)}^2}}}.\frac{{a + 4}}{{a + 2}}:\frac{{a - 4}}{{2a + 4}}\)
\( = \frac{{\left( {4 - a} \right)\left( {4 + a} \right)\left( {a + 4} \right)}}{{{{\left( {a + 4} \right)}^2}.\left( {a + 2} \right)}}.\frac{{2\left( {a + 2} \right)}}{{a - 4}} = \frac{{\left( {4 - a} \right)2\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 4} \right)}} = - 2\)
b) \(\frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}.\frac{{a + b}}{{{a^3} + {b^3}}}:\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right)}}.\frac{{a + b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}}.\frac{{a - b}}{{a + b}}\)
\( = \frac{{\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {b + a} \right)}^2}}}\)
c) \(\left( {\frac{{2a}}{{a - 2}} - \frac{a}{{a + 2}}} \right).\frac{{{a^2} - 4}}{a} = \left[ {\frac{{2a\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}} - \frac{{a\left( {a - 2} \right)}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}} \right].\frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}{a}\)
\( = \frac{{2{a^2} + 4a - {a^2} + 2a}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}.\frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}{a} = \frac{{{a^2} + 6a}}{a} = \frac{{a\left( {a + 6} \right)}}{a} = a + 6\)
d) \(\left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{ab}}} \right).\frac{{a{b^2}}}{{a - b}} = \frac{{b - a}}{{{a^2}b}}.\frac{{a{b^2}}}{{a - b}} = \frac{{ - \left( {a - b} \right)a{b^2}}}{{{a^2}b\left( {a - b} \right)}} = \frac{{ - b}}{a}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Tính:
a) \(\dfrac{{4{x^2} + 2}}{{x - 2}} \cdot \dfrac{{3x + 2}}{{x - 4}} \cdot \dfrac{{4 - 2x}}{{2{x^2} + 1}}\)
b) \(\dfrac{{x + 3}}{x} \cdot \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 6x + 9}}:\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + 3x}}\)
Làm thế nào để nhân, chia các phân thức đại số?
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{{15{a^2}}}{{8bc}}.\frac{{4c}}{{5a{b^2}}}\)
b) \(\frac{{14{x^3}}}{{5y{z^3}}}:\frac{{7x}}{{15y{z^2}}}\)
c) \(\frac{{6t + 12}}{{10 - 5t}}.\frac{{t - 2}}{{t + 2}}\)
d) \(\frac{{m - 5}}{{{m^2} + 1}}:\left( {3m - 15} \right)\)
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{{5a}}{{9b}}.\frac{{2a{c^2}}}{b}:\frac{{{c^3}}}{{8{b^3}}}\)
b) \(\frac{{{x^2} - 2xy}}{{x - y}}.\frac{{y - x}}{{3x - {x^2}}}:\frac{1}{{3 - x}}\)
c) \(\left( {\frac{{3x}}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{15{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)\)
d) \(\left( {{m^2} - 1} \right).\left( {\frac{1}{{m + 1}} - \frac{1}{{m - 1}} + 1} \right)\)
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{{{y^2} - 4y + 4}}{{3 - 9y}}.\frac{{3y - 1}}{{3{y^2} - 12}}\)
b) \(\frac{{{c^2} - {d^2}}}{{cd}}:\frac{1}{{cd + {d^2}}}\)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\left( {b - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}}} \right).\left( {\frac{{2b}}{a} - \frac{{4b}}{{a - b}}} \right)\)
b) \(\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{y}{x}} \right):\left( {\frac{x}{{{y^2}}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}} \right)\)
Tính:
a) \(\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\);
b) \(\left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)\).
Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) \(M = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\)
b) \(N = \left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\)
c) \(P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - xy} \right):\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\)
Trên một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là \(x\left( m \right)\), chiều rộng là \(y\left( m \right)\) với \(x > y > 4\), bác An dự định làm một vườn hoa hình chữ nhật và bớt ra một phần đường đi rộng 2 m như Hình 3. Viết phân thức biểu thị theo \(x;y\).
a) Tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa.
b) Tỉ số chu vi mảnh đất và vườn hoa.
Tìm hai phân thức P, Q thoản mãn:
\(a)P.\frac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = \frac{{{x^2} + x}}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}\)
\(b)Q:\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)
Cho hai phân thức \(P = \frac{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 9}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}}}\) và \(Q = \frac{{{x^2} + 3{\rm{x}}}}{{{x^2} - 9}}\)
a) Rút gọn P và Q
b) Sử dụng kết quả câu a, Tính P.Q và P:Q
Thực hiện phép tính:
\(\begin{array}{l}a)\frac{{4{\rm{x}} - 6}}{{5{{\rm{x}}^2} - x}}.\frac{{25{{\rm{x}}^2} - 10{\rm{x}} + 1}}{{27 + 8{{\rm{x}}^3}}}\\b)\frac{{2{\rm{x}} + 10}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}:\frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^3}}}{{{x^2} - 9}}\end{array}\)
