Làm thế nào để nhân, chia các phân thức đại số?

Tính:

a) \(\dfrac{{4{x^2} + 2}}{{x - 2}} \cdot \dfrac{{3x + 2}}{{x - 4}} \cdot \dfrac{{4 - 2x}}{{2{x^2} + 1}}\) 

b) \(\dfrac{{x + 3}}{x} \cdot \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 6x + 9}}:\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + 3x}}\)

Thực hiện các phép tính sau:

a)     \(\frac{{15{a^2}}}{{8bc}}.\frac{{4c}}{{5a{b^2}}}\)

b)    \(\frac{{14{x^3}}}{{5y{z^3}}}:\frac{{7x}}{{15y{z^2}}}\)

c)     \(\frac{{6t + 12}}{{10 - 5t}}.\frac{{t - 2}}{{t + 2}}\)

d)    \(\frac{{m - 5}}{{{m^2} + 1}}:\left( {3m - 15} \right)\)

Thực hiện các phép tính sau:

a)     \(\frac{{5a}}{{9b}}.\frac{{2a{c^2}}}{b}:\frac{{{c^3}}}{{8{b^3}}}\)

b)    \(\frac{{{x^2} - 2xy}}{{x - y}}.\frac{{y - x}}{{3x - {x^2}}}:\frac{1}{{3 - x}}\)

c)     \(\left( {\frac{{3x}}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{15{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)\)

d)    \(\left( {{m^2} - 1} \right).\left( {\frac{1}{{m + 1}} - \frac{1}{{m - 1}} + 1} \right)\)

Thực hiện các phép tính sau:

a)     \(\frac{{{y^2} - 4y + 4}}{{3 - 9y}}.\frac{{3y - 1}}{{3{y^2} - 12}}\)

b)    \(\frac{{{c^2} - {d^2}}}{{cd}}:\frac{1}{{cd + {d^2}}}\)

Rút gọn các biểu thức sau:

a)     \(\left( {b - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}}} \right).\left( {\frac{{2b}}{a} - \frac{{4b}}{{a - b}}} \right)\)

b)    \(\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{y}{x}} \right):\left( {\frac{x}{{{y^2}}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}} \right)\)

Thu gọn các biểu thức sau:

a) \(\frac{{16 - {a^2}}}{{{a^2} + 8a + 16}}:\frac{{a - 4}}{{2a + 4}}.\frac{{a + 4}}{{a + 2}}\);

b) \(\frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}.\frac{{a + b}}{{{a^3} + {b^3}}}:\frac{{a + b}}{{a - b}}\);

c) \(\left( {\frac{{2a}}{{a - 2}} - \frac{a}{{a + 2}}} \right).\frac{{{a^2} - 4}}{a}\);

d) \(\left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{ab}}} \right).\frac{{a{b^2}}}{{a - b}}\).

Tính:

a) \(\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\);

b) \(\left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)\).

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) \(M = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\)

b) \(N = \left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\)

c) \(P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - xy} \right):\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

Trên một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là \(x\left( m \right)\), chiều rộng là \(y\left( m \right)\) với \(x > y > 4\), bác An dự định làm một vườn hoa hình chữ nhật và bớt ra một phần đường đi rộng 2 m như Hình 3. Viết phân thức biểu thị theo \(x;y\).

a) Tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa.

b) Tỉ số chu vi mảnh đất và vườn hoa.

Tìm hai phân thức P, Q thoản mãn:

\(a)P.\frac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = \frac{{{x^2} + x}}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}\)

\(b)Q:\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)

Cho hai phân thức \(P = \frac{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 9}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}}}\) và \(Q = \frac{{{x^2} + 3{\rm{x}}}}{{{x^2} - 9}}\)

a) Rút gọn P và Q

b) Sử dụng kết quả câu a, Tính P.Q và P:Q

Thực hiện phép tính:

\(\begin{array}{l}a)\frac{{4{\rm{x}} - 6}}{{5{{\rm{x}}^2} - x}}.\frac{{25{{\rm{x}}^2} - 10{\rm{x}} + 1}}{{27 + 8{{\rm{x}}^3}}}\\b)\frac{{2{\rm{x}} + 10}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}:\frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^3}}}{{{x^2} - 9}}\end{array}\)