Chứng minh rằng mỗi cặp phân thức sau bằng nhau.
a) \(\frac{{6a{b^2}}}{{9{a^3}b}}\) và \(\frac{{2b}}{{3{a^2}}}\);
b) \(\frac{{2y - 2x}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}\) và \(\frac{2}{{y - x}}\);
c) \(\frac{{{a^2} + ab}}{{2{b^2} + 2ab}}\) và \(\frac{{2ab}}{{4{b^2}}}\).
Sử dụng kiến thức về hai phân thức bằng nhau để chứng minh: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) bằng nhau, viết \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\), nếu \(A.D = B.C\)
a) Ta có: \(6a{b^2}.3{a^2} = 9{a^3}b.2b\left( { = 18{a^3}{b^2}} \right)\) nên \(\frac{{6a{b^2}}}{{9{a^3}b}} = \frac{{2b}}{{3{a^2}}}\)
b) Vì \(\left( {2y - 2x} \right)\left( {y - x} \right) = 2\left( {y - x} \right)\left( {y - x} \right) = 2{\left( {x - y} \right)^2}\) nên \(\frac{{2y - 2x}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \frac{2}{{y - x}}\)
c) Vì \(4{b^2}\left( {{a^2} + ab} \right) = 4{a^2}{b^2} + 4a{b^3};2ab\left( {2{b^2} + 2ab} \right) = 4{a^2}{b^2} + 4a{b^3}\) nên \(4{b^2}\left( {{a^2} + ab} \right) = 2ab\left( {2{b^2} + 2ab} \right)\). Do đó, \(\frac{{{a^2} + ab}}{{2{b^2} + 2ab}} = \frac{{2ab}}{{4{b^2}}}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
a) Viết lại phân thức \(\frac{{3{x^3}{y^3}}}{{6{x^2}y}}\) bằng cách chia đơn thức \(3{x^3}{y^3}\) cho đơn thức \(6{x^2}y.\) Từ đó so sánh hai phân thức \(\frac{{3{x^3}{y^3}}}{{6{x^2}y}}\) và \(\frac{{x{y^2}}}{2}.\)
b) So sánh \(3{x^3}{y^3}.2\) và \(6{x^2}y.x{y^2}\)
Chỉ ra hai phân thức bằng nhau trong các phân thức sau: \(\frac{{x + 1}}{x};\frac{{{x^2} - x}}{{{x^2}}};\frac{{{x^2} + x}}{{{x^2}}}\)
Giả sử tổng chi phí để làm ra \(x\) sản phẩm của xưởng sản xuất là A và \({C_1}\left( x \right) = 100x + 150\)( đơn vị: nghìn đồng) và tổng chi phí để làm ra \(\left( {x + 1} \right)\) sản phẩm của xưởng sản xuất B là \({C_2}\left( x \right) = 100\left( {x + 1} \right) + 150\) ( đơn vị: nghìn đồng).
a) Viết biểu thức tính chi phí trung bình để làm ra một sản phẩm của mỗi xưởng sản xuất.
b) Các chi phí trung bình nêu ở câu a có bằng nhau không?
Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng minh rằng:
a) \(\frac{{4x}}{{9y}} = \frac{{12{x^2}{y^3}}}{{27x{y^4}}}\)
b)\(\frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} - 9}}\)
c) \(\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x + 4}}\)
d)\(\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}} = x + y\)
Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{27{m^4}{n^5}}}{{36{m^5}{n^4}}} = \frac{{3n}}{{4m}}\)
b) \(\frac{{1 - x}}{{x + 5}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5 - x} \right)}}{{{x^2} - 25}}\)
c) \(\frac{{{x^2} - 6xy + 9{y^2}}}{{8xy - 24{y^2}}} = \frac{{x - 3y}}{{8y}}\)
d) \(\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{7x - 7y}} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{7}\)
Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy giải thích vì sao có thể viết:
a) \(\frac{{{x^2}{y^3}}}{{2{x^2}{y^2}}} = \frac{y}{2}\)
b) \(\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\)
c) \(\frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{{x^3} + 27}} = \frac{1}{{x + 3}}\)
Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?
a) \(\frac{x}{{5x + 5}}\) và \(\frac{1}{5}\)
b) \(\frac{{ - x}}{{x - 5}}\) và \(\frac{{ - x\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}\)
c) \(\frac{{ - 5}}{{ - x - y}}\) và \(\frac{5}{{x + y}}\)
d) \(\frac{{ - x}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\) và \(\frac{x}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}\)
Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
\(\frac{1}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{1 - x}}{{1 - {x^3}}}\)
Các kết luận sau đây đúng hay sai? Vì sao?
\(a)\frac{{ - 6}}{{ - 4y}} = \frac{{3y}}{{2{y^2}}}\)
\(b)\frac{{x + 3}}{5} = \frac{{{x^2} + 3{\rm{x}}}}{{5{\rm{x}}}}\)
\(c)\frac{{3{\rm{x}}\left( {4{\rm{x}} + 1} \right)}}{{16{{\rm{x}}^2} - 1}} = \frac{{ - 3{\rm{x}}}}{{1 - 4{\rm{x}}}}\)
Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. \(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{2 - x}}\)
B. \(\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
C. \(\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
D. \(\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( { - x - 2} \right)}^2}}}\)\(\)
Khẳng định nào sau đây là sai:
A. \(\frac{{ - 6{\rm{x}}}}{{ - 4{{\rm{x}}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{2{\rm{x}}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
B. \(\frac{{ - 5}}{{ - 2}} = \frac{{10{\rm{x}}}}{{4{\rm{x}}}}\)
C. \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)
D. \(\frac{{ - 6{\rm{x}}}}{{ - 4{{\left( { - x} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{2{\rm{x}}{{\left( { - x + 2} \right)}^2}}}\)
Trong hằng đẳng thức \(\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{4{\rm{x}} - 1}} = \frac{{8{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}}}}{Q}\), Q là đa thức
A.4x
B. \(4{{\rm{x}}^2}\)
C.16x−4
D. \(16{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}}\)
Cho phân thức \(\frac{A}{B}\) với \(B \ne 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?
Giải thích vì sao hai phân thức sau bằng nhau: \(\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\) và \(\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\).
Phân thức nào sau đây bằng phân thức \(\frac{{16{x^4} - 1}}{{12{x^3} - 3x}}\)?
A. \(\frac{{4{x^2} - 1}}{{3x}}\)
B. \(\frac{{4{x^2} + 1}}{{3x}}\)
C. \(\frac{{4{x^2} - 1}}{{4x - 3}}\)
D. \(\frac{{4{x^2} + 1}}{{4 - 3x}}\)
