Đề bài

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.\) Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\)

b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.\)

Phương pháp giải

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\) khi  \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {3 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 3 + \lim \frac{1}{n} = 3 + 0 = 3\\\lim {v_n} = \lim \left( {5 - \frac{2}{{{n^2}}}} \right) = \lim 5 - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 5 - 0 = 5\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n} = 3 + 5 = 8\\\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = 3 - 5 =  - 2\\\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 3.5 = 15\\\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Tìm \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\).

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\;\;\;{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\)

Tính và so sánh: \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\)

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);            

b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)\)

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Cho hai dãy số không âm \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}};\;\)                            

b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \)

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1}  - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là

A. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  - \infty \)                      

B. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 1\)               

C. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \)                     

D. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0\)

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} +  \ldots  + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng

A. 1                                        

B. 2                                         

C. -1                                       

D. 0

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \frac{2}{n}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);                 

b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}\);            

c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\)

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}};\)                   

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}.\)

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.\)

a) Tính \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\)

b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}.\)

c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tích \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).\)

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 3n}}{{{n^2} + 1}}\)           

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 3} }}{n}\)

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Ở trên ta đã biết \(\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2}}} = 3\).

a) Tìm các giới hạn \(\lim 3\) và \(\lim \frac{1}{{{n^2}}}\).

b) Từ đó, nêu nhận xét về \(\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\) và \(\lim 3 + \lim \frac{1}{{{n^2}}}\).

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} = 2,\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 4\). Tìm \(\lim \frac{{3{u_n} - {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}}\).

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Cho \(\lim {u_n} = a\), \(\lim {v_n} = b\). Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\)                              

B. \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b\)

C. \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\)                                    

D. \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{a - b}}{b}\)

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \).

B. Nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \).

C. Nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\).

D. Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) và \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \).

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 - \frac{2}{n}\), \({v_n} = 4 + \frac{2}{{n + 2}}\).

Khi đó, \(\lim \left( {{u_n} + \sqrt {{v_n}} } \right)\) bằng:

A. 3                               

B. 4                     

C. 5                     

D. 2

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Cho \(\lim {u_n} = 3\), \(\lim {v_n} =  + \infty \). Khi đó, \(\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}\) bằng:

A. \(3\)                                    

B. \( - \infty \)               

C. \( + \infty \)              

D. \(0\)

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Cho \(\lim {u_n} = 2\), \(\lim {v_n} = 3\). Khi đó, \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) bằng:

A. 6                               

B. 5                     

C. 1                     

D. 2  

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = b \in \mathbb{R}\). Xét các khẳng định sau:

(1) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 1 + b\)             

(2) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = b\)

(3) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = b\)                 

(4) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{b}\).

Số khẳng định đúng là:

A. 2                     

B. 1                     

C. 3                     

D. 4

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Cho hai dãy $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - 2.$ Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right)$ bằnga

Xem lời giải >>
Bài 21 :

Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\) và \({v_n} = \frac{2}{{n + 2}}\). Khi đó \(\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}\) có giá trị bằng

Xem lời giải >>
Bài 22 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3\). Giá trị của \(\lim \left( {{u_n}} \right)\) bằng

Xem lời giải >>