Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\;\)biết:
a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);
b) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).
- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tời dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp
- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\)
Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}a = 1\)
\(\Leftrightarrow {\cos ^2}a = 1 - \frac{1}{9}= \frac{8}{9}\)
\(\Leftrightarrow \cos a =\pm\sqrt { \frac{8}{9}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Vì \(\cos a < 0\) nên \(cos a =-\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Ta có: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\)
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\)
\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} = \frac{{2.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}}{{1 - {{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\)
b) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\sin a > 0,\cos a < 0\)
\({\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)
Suy ra \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}\)
Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\;\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} - {\cos }a} \right)^2 + {\cos ^2}a - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \cos a + {\cos ^2}a + {\cos ^2}a - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - \cos a - \frac{3}{4} = 0\)
\( \Rightarrow \cos a = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\) (Vì \(\cos a < 0)\)
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Không dùng máy tính, tính \(\cos \frac{\pi }{8}\)
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: \(\sin 2a;\cos 2a;\tan 2a\).
Cho góc bất kì \(\alpha \). Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + \sin 2\alpha ;\;\)
b) \({\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = \cos 2\alpha .\)
Tính \(\sin \frac{\pi }{8};\cos \frac{\pi }{8}\)
Cho \(\tan \frac{\alpha }{2} = - 2\). Tính \(\tan \alpha \)
Tính \(\sin 2a,\,\,\cos 2a,\,\,\tan 2a\) bằng cách thay \(b = a\) trong công thức cộng.
Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{ \sin 2x }}{{1+ \cos 2x }} \)
Nếu \(\cos a = \frac{1}{4}\) thì \(\cos 2a\) bằng:
A.\(\frac{7}{8}\)
B.\( - \frac{7}{8}\)
C.\(\frac{{15}}{{16}}\)
D.\( - \frac{{15}}{{16}}\)
Tính \(\cos \frac{\pi }{8}\) và \(\tan \frac{\pi }{8}\)
Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β = α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Khẳng định nào sau đây đúng?
Chứng minh đẳng thức sau
\({\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
B. \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\).
C. \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\).
D. \(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 + \tan a}}\).
Nếu \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) thì giá trị của biểu thức \(P = \left( {1 - 3\cos 2\alpha } \right)\left( {2 + 3\cos 2\alpha } \right)\) bằng:
A. \(\frac{{11}}{9}\)
B. \(\frac{{12}}{9}\)
C. \(\frac{{13}}{9}\)
D. \(\frac{{14}}{9}\)
Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
A. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{4}\)
B. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\)
C. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{2}\)
D. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{2}\)
Cho \(\sin \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).
a) Chứng minh rằng \({\sin ^2}\left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}\).
b) Tính \(\sin 2\alpha \).
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không thể xảy ra?
A. \(\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
B. \(\cos 2\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{9}\)
C. \(\cot \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
D. \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Cho $\cos x + \sin x \ne 0$. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \sin x}}$ ta được
Giả sử các đẳng thức đều có nghĩa. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{1}{2}.\) Giá trị của \(P = \cos 2\alpha \) là
Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha = \frac{3}{5}$. Giá trị của $P = \cos 2\alpha $ là
Cho \(\sin \left( \alpha \right) + \cos \left( \alpha \right) = \frac{5}{4}\), khi đó \(\sin \left( {2\alpha } \right)\) có giá trị bằng:
