Cho hai vectơ $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})$, $\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})$.

a) Biểu diễn từng vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ theo ba vectơ $\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k$

b) Tính các tích vô hướng ${\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}$, $\overrightarrow i .\overrightarrow j$, $\overrightarrow j .\overrightarrow k$, $\overrightarrow k .\overrightarrow i$

c) Tính tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ theo toạ độ của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.

 

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)$.

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow i .\overrightarrow i  = 1$ và $\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0$.

b) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j$ và $\overrightarrow a .\overrightarrow k$.

c) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow b  = x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow a = \left( {2;1; - 3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2; - 1;2} \right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ bằng
A. $- 2$.
B. $- 11$.
C. 11.
D. 2.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {0; - 1;1} \right)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ bằng
A. ${60^0}$.
B. ${135^0}$.
C. ${120^0}$.
D. ${45^0}$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow a = \left( { - 2;2;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1; - 1; - 2} \right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ bằng
A. $\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}$.
B. $\frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$.
D. $\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}$.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u  = \left( {a,b,c} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( {a';b';c'} \right)$.

a) Vectơ $\overrightarrow n  = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)$ có vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ hay không?

b) $\overrightarrow n  = \overrightarrow 0$ khi và chỉ khi $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ có mối quan hệ gì?

a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), C’(1;1;1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto vuông góc với cả hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$

b) Cho hai vecto $\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1})$ và $\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2})$ không cùng phương. Xét vecto $\overrightarrow w  = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})$.

• Tính $\overrightarrow w .\overrightarrow u$, $\overrightarrow w .\overrightarrow v$
• Vecto $\overrightarrow w$ có vuông góc với cả hai vecto $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ hay không?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow a  = (3;2; - 1)$, $\overrightarrow b  = ( - 2;1;2)$. Tính cosin của góc $(\overrightarrow a ,\overrightarrow b )$

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow u  = (1; - 2;3),\overrightarrow v  = (3;4; - 5)$ là:

A. $\sqrt {14} .\sqrt {50}$

B. $- \sqrt {14} .\sqrt {50}$

C. 20

D. -20

Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực $\overrightarrow f  = (5;4; - 2)$ (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời $\overrightarrow a  = (70;20; - 40)$ (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow f$

Cho ba vectơ $\overrightarrow m  = ( - 5;4;9)$, $\overrightarrow n  = (2; - 7;0)$, $\overrightarrow p  = (6;3; - 4)$.

a) Tính $\overrightarrow m .\overrightarrow n$, $\overrightarrow m .\overrightarrow p$

b) Tính $|\overrightarrow m |$, $|\overrightarrow n |$, $\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n )$

c) Cho $\overrightarrow q  = (1; - 2;0)$. Vectơ $\overrightarrow q$ có vuông góc với $\overrightarrow p$ không?

Cho hai vectơ $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})$, $\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})$, ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}$

Gọi a là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u  = (0; - 1;0)$ và $\overrightarrow v  = (\sqrt 3 ;1;0)$. Giá trị của $\alpha$ là

A. $\alpha  = \frac{\pi }{6}$.

B. $\alpha  = \frac{\pi }{3}$.

C. $\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}$.

D. $\alpha  = \frac{\pi }{2}$.

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ tạo với nhau một góc ${60^ \circ }$ và $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3cm,\left| {\overrightarrow b } \right| = 4cm$. Khi đó $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ bằng:

A. 12

B. 6

C. $6\sqrt 3$

D. ‒6

Trong không gian $Oxyz$ được thiết lập tại một sân bay, người ta ghi nhận hai máy bay đang bay đến với các vectơ vận tốc $\overrightarrow u  = \left( {90; - 80; - 120} \right),\overrightarrow v  = \left( {60; - 50; - 60} \right)$.

Tính góc giữa hai vectơ vận tốc nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Cho hai vectơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ thoả mãn $\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1$ và $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {60^ \circ }$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow v$ và $\overrightarrow u  - \overrightarrow v$.

Cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {2;1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {0;2m; - 4} \right)$. Giá trị của tham số $m$ để hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc với nhau là

A. $m =  - 4$.

B. $m =  - 2$.

C. $m = 2$.

D. $m = 4$.

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u  = \left( { - 2;1;3} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( { - 3;2;5} \right)$ là:

A. $\sqrt {14} .\sqrt {38}$

B. $- \sqrt {14} .\sqrt {38}$

C. 23

D. ‒23

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $\overrightarrow a  = \left( {1;2;4} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {2;1;5} \right)$. Tích vô hướng $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow a$ bằng

A. 54

B. -3 

C. -6

D. 45

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC với

$S\left( { - 2;1;3} \right),{\rm{ }}A\left( { - 4;3;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2;1} \right),C\left( { - 2;1 + \sqrt 3 ;3} \right)$.

a) Chứng minh rằng hai cạnh bên SA, SB bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Tính số đo của $\widehat {ASC}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian Oxyz, cho $\vec a = (1;0;1)$, $\vec b = (1;1;0)$ và $\vec c = ( - 4;3;m)$.

a) Tìm góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.

b) Tìm m để vectơ $\vec d = 2\vec a + 3\vec b$ vuông góc với $\vec c$.

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(2; -1; 1). Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$.

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a = (1;1;1)$ và $\vec b = ( - 1;2;1)$ bằng:

A. $\sqrt 3  \cdot \sqrt 6$.

B. $- \sqrt 3  \cdot \sqrt 6$.

C. $2$.

D. $\sqrt 2$.

Nếu $\vec a = (1;1;0)$, $\vec b = (1;1; - 3)$ thì $\cos (\vec a,\vec b)$ bằng:

A. $\frac{{\sqrt {22} }}{{11}}$.

B. $\frac{{11}}{2}$.

C. $\frac{{11}}{{\sqrt {22} }}$.

D. $\frac{2}{{11}}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto $\overrightarrow a  = (2;1;0)$ và $\overrightarrow b  = ( - 1;0; - 2)$. Tính $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto $\overrightarrow u  = (3;0;1)$ và $\overrightarrow v  = (2;1;0)$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow u .\overrightarrow v$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto $\overrightarrow u  = (4;2;1)$ và $\overrightarrow v  = (1;2;1)$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow u .\overrightarrow v$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto $\overrightarrow u  = (3;2;1)$ và $\overrightarrow v  = (1;2;3)$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow u .\overrightarrow v$.

Cho hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$. Hai véc tơ vuông góc với nhau thì điều gì sau đây KHÔNG xảy ra?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba vectơ $\vec{a}=\left( -\,1;1;0 \right),\,\,\vec{b}=\left( 1;1;0 \right),\,\,\vec{c}=\left( 1;1;1 \right).$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; -1; -1), B(-1; 2; 4). Điểm M thuộc tia Ox và MA vuông góc với MB. Tìm hoành độ điểm M (nhập đáp án vào ô trống).