Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u  = (4;2;1)\) và \(\overrightarrow v  = (1;2;1)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \).

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\).

a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i  = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0\).

b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).

c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b  = x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2; - 1;2} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng
A. \( - 2\).
B. \( - 11\).
C. 11.
D. 2.

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {0; - 1;1} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng
A. \({60^0}\).
B. \({135^0}\).
C. \({120^0}\).
D. \({45^0}\).

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 2;2;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1; - 1; - 2} \right)\). Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng
A. \(\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).
B. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
D. \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}\).

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {a,b,c} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {a';b';c'} \right)\).

a) Vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) có vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay không?

b) \(\overrightarrow n  = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) có mối quan hệ gì?

a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), C’(1;1;1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \)

b) Cho hai vecto \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2})\) không cùng phương. Xét vecto \(\overrightarrow w  = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\).

• Tính \(\overrightarrow w .\overrightarrow u \), \(\overrightarrow w .\overrightarrow v \)
• Vecto \(\overrightarrow w \) có vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay không?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a  = (3;2; - 1)\), \(\overrightarrow b  = ( - 2;1;2)\). Tính cosin của góc \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)

Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u  = (1; - 2;3),\overrightarrow v  = (3;4; - 5)\) là:

A. \(\sqrt {14} .\sqrt {50} \)

B. \( - \sqrt {14} .\sqrt {50} \)

C. 20

D. -20

Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực \(\overrightarrow f  = (5;4; - 2)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\overrightarrow a  = (70;20; - 40)\) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \)

Cho ba vectơ \(\overrightarrow m  = ( - 5;4;9)\), \(\overrightarrow n  = (2; - 7;0)\), \(\overrightarrow p  = (6;3; - 4)\).

a) Tính \(\overrightarrow m .\overrightarrow n \), \(\overrightarrow m .\overrightarrow p \)

b) Tính \(|\overrightarrow m |\), \(|\overrightarrow n |\), \(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n )\)

c) Cho \(\overrightarrow q  = (1; - 2;0)\). Vectơ \(\overrightarrow q \) có vuông góc với \(\overrightarrow p \) không?

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\).

a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) theo ba vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \)

b) Tính các tích vô hướng \({\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}\), \(\overrightarrow i .\overrightarrow j \), \(\overrightarrow j .\overrightarrow k \), \(\overrightarrow k .\overrightarrow i \)

c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) theo toạ độ của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

Gọi a là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u  = (0; - 1;0)\) và \(\overrightarrow v  = (\sqrt 3 ;1;0)\). Giá trị của \(\alpha \) là

A. \(\alpha  = \frac{\pi }{6}\).

B. \(\alpha  = \frac{\pi }{3}\).

C. \(\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}\).

D. \(\alpha  = \frac{\pi }{2}\).

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) tạo với nhau một góc \({60^ \circ }\) và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3cm,\left| {\overrightarrow b } \right| = 4cm\). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng:

A. 12

B. 6

C. \(6\sqrt 3 \)

D. ‒6

Trong không gian \(Oxyz\) được thiết lập tại một sân bay, người ta ghi nhận hai máy bay đang bay đến với các vectơ vận tốc \(\overrightarrow u  = \left( {90; - 80; - 120} \right),\overrightarrow v  = \left( {60; - 50; - 60} \right)\).

Tính góc giữa hai vectơ vận tốc nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) thoả mãn \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1\) và \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {60^ \circ }\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \).

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {0;2m; - 4} \right)\). Giá trị của tham số \(m\) để hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau là

A. \(m =  - 4\).

B. \(m =  - 2\).

C. \(m = 2\).

D. \(m = 4\).

Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( { - 3;2;5} \right)\) là:

A. \(\sqrt {14} .\sqrt {38} \)

B. \( - \sqrt {14} .\sqrt {38} \)

C. 23

D. ‒23

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(\overrightarrow a  = \left( {1;2;4} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {2;1;5} \right)\). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow a \) bằng

A. 54

B. -3 

C. -6

D. 45

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC với

\(S\left( { - 2;1;3} \right),{\rm{ }}A\left( { - 4;3;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2;1} \right),C\left( { - 2;1 + \sqrt 3 ;3} \right)\).

a) Chứng minh rằng hai cạnh bên SA, SB bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Tính số đo của \(\widehat {ASC}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian Oxyz, cho \(\vec a = (1;0;1)\), \(\vec b = (1;1;0)\) và \(\vec c = ( - 4;3;m)\).

a) Tìm góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).

b) Tìm m để vectơ \(\vec d = 2\vec a + 3\vec b\) vuông góc với \(\vec c\).

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(2; -1; 1). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a = (1;1;1)\) và \(\vec b = ( - 1;2;1)\) bằng:

A. \(\sqrt 3  \cdot \sqrt 6 \).

B. \( - \sqrt 3  \cdot \sqrt 6 \).

C. \(2\).

D. \(\sqrt 2 \).

Nếu \(\vec a = (1;1;0)\), \(\vec b = (1;1; - 3)\) thì \(\cos (\vec a,\vec b)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\).

B. \(\frac{{11}}{2}\).

C. \(\frac{{11}}{{\sqrt {22} }}\).

D. \(\frac{2}{{11}}\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a  = (2;1;0)\) và \(\overrightarrow b  = ( - 1;0; - 2)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u  = (3;0;1)\) và \(\overrightarrow v  = (2;1;0)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u  = (3;2;1)\) và \(\overrightarrow v  = (1;2;3)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \).