Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
b) \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
c) \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \le \) M với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_D \)f(x). Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_D \)f(x).
- Tìm đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên và xác định GTLN và GTNN
a) Xét \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
\(f'(x) = 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0;3]} f(x) = f(0) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = f(3) = 10\)
b) Xét \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
\(g'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0;5)} f(x) = f(1) = 2\) và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)
c) Xét \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)
\(h'(x) = \sqrt {2 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = ( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\)
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D f(x) = f( - 1) = - 1\) và \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(1) = 1\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và có đồ thị là đường cong ở Hình 8. Quan sát đồ thị và cho biết:
a) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất
b) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \sin x - 2023,\forall x \in \mathbb{R}\) thì giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) bằng:
A. \(f\left( 0 \right)\).
B. \(f\left( 1 \right)\).
C. \(f\left( {1,5} \right)\).
D. \(f\left( 2 \right)\).
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).
Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t \( \ge \) 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)
\(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\)
Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?
(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)
Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.
a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?
i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(28^\circ C\).
ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(40^\circ C\).
iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(34^\circ C\).
b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [-1;1] là:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−1;4] và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn[–1;4]. Tính M + m.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 2f(x) – 1trên đoạn [–1;2].
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-3;1]. Tính M + m.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;2]. Tính M + m.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Tính M - m.
Sử dụng đồ thị dưới đây, xác định xem hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay cực trị tại mỗi điểm \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6},{x_7},{x_8}\) hay không.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 2.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) trong Hình 1 là:
A. ‒1.
B. ‒2.
C. 0.
D. 1.
Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất x sản phẩm (\(0 \le x \le 300\)) được cho bởi hàm số \(y = - {x^3} + 300{x^2}\) (đơn vị: đồng) và được minh họa bằng đồ thị ở hình bên dưới.
Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận dự kiến thu được nhiều nhất?
Cho hàm số \(y = f(x) = {x^2} - 4x + 3\) có đồ thị như hình 1.7
a) Tìm tọa độ điểm thấp nhất của đồ thị hàm số \(f(x)\) đã cho.
b) Khi \(x\) thay đổi trên đoạn \([1;4]\), tìm \({x_0} \in [1;4]\) để \(f({x_0})\) có giá trị lớn nhất.
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn, có đạo hàm trên các khoảng \(( - 3;1)\)và \((1;6)\) có dồ thị hàm số như hình 1.9, biết rằng \(f( - 3) = - 5\) và \(f(6) = - 2\).
a) Xác định các điểm cực trị thuộc đoạn \([ - 3;6]\) của hàm số.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([ - 3;6]\).
Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:
Cho hàm số \(y = {x^2}\), biết \({x^2} \ge 0,\forall x \in R\) và \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0\). Khi đó \(y = 0\) là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\). Tính \(M + m\).
