Cho tam giác đều ABC cạnh a, ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm O (Hình 8).
a) AM, BN, CP có là các đường trung trực của tam giác ABC hay không?
b) Điểm O có là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay không?
c) Tính AM theo a.
d) Tính OA theo a.
a) Nhớ lại tính chất: Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác cân cũng là đường trung trực của tam giác đó.
b) Xét xem O có cách đều 3 đỉnh của tam giác hay không.
c) Tính BM, sau đó áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AMB.
d) Áp dụng: khoảng cách từ trọng tâm tới đỉnh của tam giác bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
a) Vì tam giác ABC đều nên ba đường trung tuyến AM, BN, CP cũng đồng thời là ba đường trung trực của tam giác ABC. Do đó AM, BN, CP lần lượt là trung trực của BC, AC, AB.
b) Do ba đường trung trực của tam giác ABC cắt nhau tại O nên O cách đều 3 đỉnh A, B, C (tính chất 3 đường trung trực của tam giác).
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Xét tam giác đều ABC cạnh a có trung tuyến AM nên \(BM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}.\)
AM là đường trung trực của tam giác ABC (cmt) nên \(AM \bot BC\) do đó \(\widehat {AMB} = 90^\circ .\)
Xét tam giác ABM vuông tại M có:
\(A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\) (Pytago)
\(AM = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\)
d) Ta có: AM là trung tuyến của tam giác ABC, O là trọng tâm nên \(OA = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 a}}{2} = \frac{{\sqrt 3 a}}{3}.\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A (H.9.15). Gọi N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Vẽ hai đường trung trực a, b của các cạnh AB, AC, cắt nhau tại M.
b) Hãy giải thích vì sao MN, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.
c) Hãy giải thích vì sao M là trung điểm của BC, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M và bán kính \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính của (O), biết rằng tam giác ABC vuông cân tại A và có cạnh bên bằng \(2\sqrt 2 cm\).
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = 4 cm. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác có độ dài là
A. 2\(\sqrt 2 \) cm.
B. \(\sqrt 2 \) cm.
C. 4\(\sqrt 2 \) cm.
D. 8\(\sqrt 2 \) cm.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC (hình 7). Đường tròn (O; OB) có phải là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay không?
Nêu cách sử dụng ê ke để xác định tâm của một đường tròn bất kì khi chưa biết tâm của nó.
Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt bằng 5 cm và 12 cm.
Chứng minh nếu tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \)ABC là trung điểm M của cạnh BC thì \(\Delta \)ABC vuông tại A.
Một tam giác vuông có hiệu độ dài hai cạnh góc vuông là 7 cm. Tính diện tích của tam giác vuông đó biết nó nội tiếp trong đường tròn đường kính 13 cm.
Tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông lần lượt bằng 6 cm và 8 cm. Diện tích đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \)ABC bằng
A. \(10\pi \) cm2
B. 20\(\pi \) cm2
C. 25\(\pi \)cm2
D. 100\(\pi \) cm2
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác mà độ dài ba cạnh 3cm, 4cm, 5cm là:
