Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong 1 ngày (từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền nhà tài trợ dự kiến là 30 triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là 60 000 đồng và mỗi suất ăn sáng là 30 000 đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?
Trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong 1 ngày (từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau) nên mỗi người tham gia sẽ phải trả tiền ăn tối của ngày hôm trước, ăn sáng và ăn trưa của buổi hôm sau. Chi phí ăn uống của mỗi người là \(60 + 60 + 30 = 150\) (nghìn đồng).
Gọi x là số bạn nhiều nhất có thể tham gia được buổi đi dã ngoại nên chi phí ăn uống cho x bạn là \(150x\) (nghìn đồng).
Tổng tiền phải trả cho chuyến dã ngoại sẽ bao gồm và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng 1 ngày và chi phí ăn uống cho x bạn nên số tiền là \(150x + 17000\)
Chi phí dự kiến tài trợ là 30 triệu đồng nên số tiền chi trả không được vượt quá 30 triệu do đó ta có \(150x + 17000 \le 30000\). Từ đó ta tìm x, rồi kết luận bài toán.
Chi phí ăn uống của mỗi người là \(60 + 60 + 30 = 150\) (nghìn đồng).
Gọi x là số bạn nhiều nhất có thể tham gia được buổi đi dã ngoại.
Chi phí ăn uống cho x bạn là \(150x\) (nghìn đồng).
Tổng chi phí phải trả cho buổi dã ngoại có x bạn tham gia là \(150x + 17000\) (nghìn đồng)
Mà tổng số tiền tài trợ dự kiến là 30 triệu đồng nên ta có \(150x + 17000 \le 30000\) (nghìn đồng)
Ta có \(150x \le 13000\) (cộng cả hai vế với -17000)
Hay \(x \le \frac{{260}}{3}\) (nhân cả hai vế với \(\frac{1}{{150}}\))
Mà \(\frac{{260}}{3} \approx 86,\left( 6 \right)\) nên số người tham gia tối đa là 86 bạn.
Vậy có thể tổ chức nhiều nhất tối đa 86 bạn tham gia được.
Lý thuyết toán học liên quan trực tiếp đến việc giải quyết bài toán này là về bất phương trình bậc nhất một ẩn. Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát là $ax + b \le c$, $ax + b \ge c$, $ax + b < c$, hoặc $ax + b > c$, trong đó $x$ là ẩn số, $a$, $b$, $c$ là các số cho trước, với $a \ne 0$.
Việc giải bất phương trình nhằm mục đích tìm tập hợp tất cả các giá trị của ẩn $x$ thỏa mãn bất phương trình đó.
Trong bài toán này, chúng ta cần tìm số lượng học sinh tối đa có thể tham gia. Chi phí cho chuyến đi bao gồm chi phí cố định (thuê dịch vụ và phòng nghỉ) và chi phí biến đổi (chi phí ăn uống cho mỗi học sinh). Số tiền tài trợ là có giới hạn. Chúng ta gọi số học sinh tham gia là $x$.
+ Chi phí ăn uống cho mỗi người được tính là $60 + 60 + 30 = 150$ (nghìn đồng).
+ Tổng chi phí ăn uống cho $x$ bạn là $150x$ (nghìn đồng).
+ Chi phí thuê dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng, tương đương 17000 nghìn đồng.
+ Tổng chi phí cho chuyến đi là chi phí thuê cộng với chi phí ăn uống cho $x$ bạn, tức là $150x + 17000$ (nghìn đồng).
+ Số tiền tài trợ dự kiến là 30 triệu đồng, tương đương 30000 nghìn đồng. Vì tổng chi phí không được vượt quá số tiền tài trợ, ta thiết lập bất phương trình:
tổng chi phí $\le$ tổng tiền tài trợ
Cụ thể, bất phương trình áp dụng vào bài toán là: $150x + 17000 \le 30000$. Việc giải bất phương trình này giúp tìm ra giá trị tối đa của $x$ (số học sinh) thỏa mãn điều kiện tài chính.
Phương pháp giải chung cho dạng bài: Đối với các bài toán thực tế liên quan đến giới hạn về ngân sách, tài nguyên hoặc các ràng buộc khác, phương pháp giải chung sử dụng bất phương trình như sau:
+ Xác định ẩn số: Chọn một biến (ví dụ: $x$) để biểu diễn đại lượng cần tìm (trong bài này là số học sinh).
+ Phân tích các chi phí/đại lượng: Liệt kê tất cả các chi phí hoặc đại lượng liên quan. Phân loại chúng thành chi phí/đại lượng cố định (không thay đổi theo số ẩn) và chi phí/đại lượng biến đổi (thay đổi theo số ẩn).
+ Thiết lập bất phương trình: Dựa vào mối quan hệ giữa tổng chi phí/đại lượng và giới hạn cho trước (tổng tiền tài trợ, tổng tài nguyên, v.v.), xây dựng một bất phương trình. Thông thường, bất phương trình sẽ có dạng
(tổng chi phí/đại lượng biến đổi) + (tổng chi phí/đại lượng cố định) $\le$ (giới hạn) hoặc $\ge$ (giới hạn), tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán.
+ Giải bất phương trình: Sử dụng các quy tắc biến đổi bất phương trình (cộng/trừ cùng một số vào hai vế, nhân/chia hai vế với cùng một số dương hoặc âm và đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm) để tìm ra tập nghiệm của ẩn số.
+ Kiểm tra và làm tròn kết quả: Đối chiếu tập nghiệm với điều kiện thực tế của bài toán. Ví dụ, số người phải là số nguyên dương. Nếu kết quả là một số thập phân, cần xem xét yêu cầu bài toán là số lượng tối đa (làm tròn xuống) hay tối thiểu (làm tròn lên) và chỉ lấy phần nguyên phù hợp.
+ Kết luận: Trình bày câu trả lời cuối cùng dựa trên giá trị hợp lệ của ẩn số tìm được.
Các bài tập cùng chuyên đề
Hãy chọn câu đúng. Nếu \(a > b\) thì:
-
A.
\( - 3a - 1 > - 3b - 1\)
-
B.
\( - 3(a - 1) < - 3(b - 1)\)
-
C.
\( - 3(a - 1) > - 3(b - 1)\)
-
D.
\(3(a - 1) < 3(b - 1)\)
Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh:
a) \(2.\left( { - 7} \right) + 2023 < 2.\left( { - 1} \right) + 2023;\)
b) \(\left( { - 3} \right).\left( { - 8} \right) + 1975 > \left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) + 1975.\)
Cho \(a < b,\) hãy so sánh:
a) \(5a + 7\) và \(5b + 7;\)
b) \( - 3a - 9\) và \( - 3b - 9.\)
So sánh hai số a và b, nếu:
a) \(a + 1954 < b + 1954;\)
b) \( - 2a > - 2b.\)
Cho \(a > b,\) chứng minh rằng:
a) \(4a + 4 > 4b + 3;\)
b) \(1 - 3a < 3 - 3b.\)
Cho \(a > b\). Khi đó ta có:
A. \(2a > 3b.\)
B. \(2a > 2b + 1.\)
C. \(5a + 1 > 5b + 1.\)
D. \( - 3a < - 3b - 3.\)
Cho \(a < b,\) hãy so sánh:
a) \(a + b + 5\) với \(2b + 5;\)
b) \( - 2a - 3\) với \( - \left( {a + b} \right) - 3.\)
Hãy cho biết các bất đẳng thức được tạo thành khi:
a) Cộng hai vế của bất đẳng thức m > 5 với – 4;
b) Cộng hai vế của bất đẳng thức x2 \( \le \) y + 1 với 9;
c) Nhân hai vế của bất đẳng thức x > 1 với 3, rồi tiếp tục cộng với 2;
d) Cộng hai vế của bất đẳng thức m \( \le \) - 1 với – 1, rồi tiếp tục cộng với – 7.
So sánh hai số x và y trong mỗi trường hợp sau:
a) x + 5 > y + 5;
b) – 11x \( \le \) - 11y;
c) 3x – 5 < 3y – 5;
d) – 7x + 1 > - 7y + 1.
Cho hai số a, b thoả mãn a < b. Chứng tỏ:
a) b – a > 0;
b) a – 2 < b – 1
c) 2a + b < 3b
d) – 2a – 3 > - 2b – 3.
Chứng minh:
a. \(2m + 4 > 2n + 3\) với \(m > n\);
b. \(-3a + 5 > -3b + 5\) với \(a < b\).
a. Cho \(a > b > 0\). Chứng minh: \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).
b. Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: \(\frac{{2022}}{{2023}}\) và \(\frac{{2023}}{{2024}}\).
Chứng minh: \({x^2} + {y^2} \ge 2xy\) với mọi số thực \(x,y\).
Nồng độ cồn trong máu (tiếng Anh là Blood Alcohol Content, viết tắt: BAC) được định nghĩa là tỉ lệ phần trăm lượng rượu (ethyl alcohol hoặc ethanol) trong máu của một người. Chẳng hạn, nồng độ cồn trong máu là 0,05% nghĩa là có 50mg rượu trong 100ml máu. Càng uống nhiều rượu bia thì nồng độ cồn trong máu càng cao và càng nguy hiểm khi tham gia giao thông. Nghị định 100/2019/NĐ-CP quy định mức xử phạt vi phạm hành chính đối với người điều khiển xe gắn máy uống rượu bia khi tham gia giao thông như sau:
Giả sử nồng độ cồn trong máu của một người sau khi uống rượu bia được tính theo công thức sau: \(y = 0,076 - 0,008t\), trong đó y được tính theo đơn vị % và t là số giờ tính từ thời điểm uống rượu bia. Hỏi 3 giờ sau khi uống rượu bia, người này điều khiển xe gắn máy tham gia giao thông thì sẽ bị xử phạt ở mức độ nào?
Cho bất đẳng thức \(a > b\). Kết luận nào sau đây là không đúng?
A. \(2a > 2b\)
B. \( - a < - b\)
C. \(a - 3 < b - 3\)
D. \(a - b > 0\)
Chứng minh:
a. Nếu \(a > 5\) thì \(\frac{{a - 1}}{2} - 2 > 0\).
b. Nếu \(b > 7\) thì \(4 - \frac{{b + 3}}{5} < 2\).
Cho \(4,2 < a < 4,3\). Chứng minh: \(13,8 < 3a + 1,2 < 14,1\).
Cho \(a \ge 2\). Chứng minh:
a. \({a^2} \ge 2a\)
b. \({\left( {a + 1} \right)^2} \ge 4a + 1\)
Chứng minh nửa chu vi của một tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
Bác Lâm muốn rào xung quanh mảnh vườn hình chữ nhật có số đo chiều rộng là \(a\left( m \right)\). Chiều dài dài hơn chiều rộng \(3m\). Bác Lâm ước lượng \(a < 15\). Bác có tấm lưới dài khoảng \(70m\). Tấm lưới này dài khoảng \(70m\). Tấm lưới này có đủ dài để bác Lâm rào vườn không? Giải thích vì sao?
Cho \( - 5m \ge - 5n\). Hãy so sánh:
a) \(m\) và \(n\);
b) \(1 - 2m\) và \(1 - 2n\)
Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:
a) \(2 + 28,5.6\) và \(3 + 28,5.6\);
b) \(30\sqrt 2 - 2022\) và \(30\pi - 2022\);
c) \(35 - 3\sqrt 3 \) và \(36 - 3\sqrt 2 \).
Cho \(a \le b\). Hãy so sánh:
a) \(\sqrt 2 - 3a\) và \(\sqrt 2 - 3b\);
b) \(20a - 5\) và \(20b - 5\).
So sánh \(x\) và \(y\) nếu:
a) \(2x - 3 > 2y - 3\);
b) \( - 3x + 4 \ge - 3y + 4\).
Cho \(x\) và \(y\) là hai số thực tùy ý, trong đó \(x < y\). Chứng minh rằng \(5 - 2x > 3 - 2y\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,BC = a,AC = b,AB = c\). Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a) \(\widehat B + \widehat C > 90^\circ \);
b) \(\widehat B + \widehat C \ge 90^\circ \);
c) \(b + c \ge a\);
d) \(b - c \le a\).
Cho ba số thực \(x,y,z\). Biết rằng \(y \ge z\). Hãy so sánh mỗi cặp số sau và giải thích vì sao.
a) \(y - 3\) và \(z - 3\).
b) \( - 5y\) và \( - 5z\).
c) \(\frac{y}{3}\) và \(\frac{z}{3}\).
d) \(x + 2y\) và \(x + 2z\).
Biết rằng \(a < b\) và \(c < d\). Hãy so sánh:
a) \(a + c\) và \(b + c\).
b) \(b + c\) và \(b + d\).
c) \(a + c\) và \(b + d\).
d) \(a - c\) và \(a - d\).
Cho bài toán: So sánh \( - 5m\) với \(1\) và \( - 1\), biết rằng: \( - \frac{1}{5} < m < \frac{1}{5}\).
Bạn Hà đã giải bài toán như sau:
Nhân \( - 5\) vào các vế của bất đẳng thức \( - \frac{1}{5} < m < \frac{1}{5}\), ta có:
\(\left( { - 5} \right).\left( { - \frac{1}{5}} \right) < \left( { - 5} \right).m < \left( { - 5} \right).\frac{1}{5}\).
Suy ra \(1 < - 5m < - 1\).
Tìm sai lầm (nếu có) trong lời giải của bạn Hà và giải thích vì sao.
Nếu \(a < b\) thì:
A. \( - a < - b\).
B. \(5 - 2a > 5 - 2b\).
C. \(4 - a < 4 - b\).
D. \( - 10a + 2 < - 10b + 2\).
