Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm \(I( - 1;2)\)tới tiếp tuyến của đồ thị tại M là lớn nhất.

Giả sử \(M({x_0};2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}) \in (C)\). PTTT của (C) tại M là:

\(y = \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}(x - {x_0}) + 2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}\,\,\,(\Delta )\)

Hay \(\begin{array}{l}(\Delta ):\,\,\,\frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}x - y + \left[ {\frac{{3{x_0}}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + 2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}} \right] = 0\,\,\,\\(\Delta ):\,\frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}x - y + 2 - \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} = 0\\d(I,\Delta ) = \frac{{|\frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}{x_0} - (2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}) + 2 - \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}|}}{{\sqrt {\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^4}}} + 1} }} = \frac{{6|{x_0} + 1|}}{{\sqrt {9 + {{({x_0} + 1)}^4}} }} = \frac{6}{{\sqrt {\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + {{({x_0} + 1)}^2}} }}\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + {({x_0} + 1)^2} \ge 2\sqrt 9  = 6 \Rightarrow d \le \sqrt 6 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} = {({x_0} + 1)^2} \Leftrightarrow {x_0} =  - 1 \pm \sqrt 3 \)

Vậy có hai điểm cần tìm là \(M( - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 )\) hoặc \(M( - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 )\)