Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(\left( P \right):y = - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 1\).
- Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).
- Từ ví dụ 2 có \({\left( {c{x^2}} \right)^\prime } = 2cx\).
Ta có \(y' = {\left( { - 2{x^2}} \right)^\prime } = - 4x\) nên \(y'\left( { - 1} \right) = - 4.\left( { - 1} \right) = 4.\)
Ngoài ra , \(f\left( { - 1} \right) = - 2\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y - \left( { - 2} \right) = 4\left( {x + 1} \right)\) hay \(y = 4x + 2\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) và điểm \(M\left( {1;1} \right) \in \left( C \right)\). Tính hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) và viết phương trình tiếp tuyến đó.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\).
a) Vẽ \(\left( C \right)\) và tính \(f'\left( 1 \right)\).
b) Vẽ đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và có hệ số góc bằng \(f'\left( 1 \right)\). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(\left( C \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {1; - 2} \right) \in \left( C \right)\). Tính hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3}\)
a) Tại điểm \(\left( { - 1;1} \right)\);
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2}\). Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1;4} \right)\) có hệ số góc bằng:
A. ‒3.
B. 9.
C. ‒9.
D. 72.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( { - 1;6} \right) \in \left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) tại điểm có hoành độ bằng 4.
Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 100 (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Cho hàm số y = x2 có đồ thị là đường parabol (P).
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x0 = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{1}{2}.\)
Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị (C) và điểm \(P\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right).\) Xét điểm \(Q\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thay đổi trên (C) với \(x \ne {x_0}.\)
a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc kPQ của cát tuyến PQ.
b) Khi \(x \to {x_0}\) thì vị trí của điểm \(Q\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQ có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = - {x^2} + 4x,\) biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ \({x_0} = 1;\)
b) Tiếp điểm có tung độ \({y_0} = 0.\)
Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên \({L_1}\) và đoạn dốc xuống \({L_2}\) là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, \({L_1}\) và \({L_2}\) phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là \(y = a{x^2} + bx + c,\) trong đó x tính bằng mét.
a) Tìm c.
b) Tính y'(0) và tìm b.
c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.
d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4x - 1\) có đồ thị là \((C)\). Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm \(M\) trên đồ thị \((C)\) là
A. 1 .
B. 2.
C. -1 .
D. 3 .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Đồ thị của hàm số \(y = \frac{a}{x}\) (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.
Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 6{x^2} - 5\) tại điểm \(M(3; - 5)\) thuộc đồ thị là
A. \(y = 18x + 49\).
B. \(y = 18x - 49\)
C. \(y = - 18x - 49\).
D. \(y = - 18x + 49\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\) tại điểm N (1; 1).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm \({M_0}\) cố định thuộc (C) có hoành độ \({x_0}\). Với mỗi điểm M thuộc (C) khác \({M_0}\), kí hiệu \({x_M}\) là hoành độ của điểm M và \({k_M}\) là hệ số góc của cát tuyến \({M_0}M\). Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn \({k_0} = \mathop {\lim }\limits_{{x_M} \to {x_0}} {k_M}\). Khi đó, ta coi đường thẳng \({M_0}T\) đi qua \({M_0}\) và có hệ số góc là \({k_0}\) là ví trị giới hạn của cát tuyến \({M_0}M\) khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới \({M_0}\) . Đường thẳng \({M_0}T\)được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm \({M_0}\), còn \({M_0}\) được gọi là tiếp điểm (Hình 3).
a) Xác định hệ số góc \({k_0}\) của tiếp tuyến \({M_0}T\) theo \({x_0}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}\)
Cho hàm số \(y = - 2{x^2} + x\) có đồ thị (C).
a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; - 6).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\).
b) \(y = \ln x\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = e\).
c) \(y = {e^x}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\).
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 6x + 1\) tại điểm có hoành độ bằng 1 và cắt hai trục tọa độ tại \(A,{\rm{ }}B\). Tính diện tích tam giác \(OAB\) (nhập đáp án vào ô trống).
Cho parabol (P) có phương trình \(y = {x^2}\). Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P).
a) Tại điểm \(\left( { - 1;1} \right)\);
b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng \(y = - 3x + 2\).
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó.
a) Song song với đường thẳng \(y = - x + 2\);
b) Vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x - 4\);
c) Đi qua điểm A(0; 1).
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\). Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1; - 6} \right)\) có hệ số góc bằng:
A. 18
B. \( - 3\)
C. 7
D. 9
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} + 2x + 1\) có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:
A. \(f\left( {{x_0}} \right).\)
B. \(f'\left( {{x_0}} \right).\)
C. \({x_0}.\)
D. \( - f'\left( {{x_0}} \right).\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:
A. \(y = f\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)
B. \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)
C. \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)
D. \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right).\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 1.\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có tung độ bằng \(8.\)
