Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\)
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thỏa mãn: \({x^2} + 3x = 0\).
c) Tìm x để \(A = \frac{1}{2}\).
d) Tìm x nguyên để A nguyên dương.
a) Tìm điều kiện để các phân thức xác định. Sử dụng các quy tắc tính với phân thức đại số để rút gọn A.
b) Tìm x thỏa mãn \({x^2} + 3x = 0\). Thay x vừa tìm được để tính giá trị của A.
c) Thay \(A = \frac{1}{2}\) để tìm x.
d) Để A nguyên dương thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức, tử thức và mẫu thức phải cùng dấu.
a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\end{array} \right.\)
Ta có: \(A = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\)
\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\\ = \left( {\frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\\ = \frac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{2 - x}}{x}\\ = \frac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{2 - x}}{x}\\ = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\end{array}\)
Vậy \(A = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\).
b) Ta có: \({x^2} + 3x = 0\)
\(\begin{array}{l}x\left( {x + 3} \right) = 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( L \right)\\x = - 3\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Thay \(x = - 3\) vào A, ta được:
\(A = \frac{{ - 4}}{{ - 3 + 2}} = \frac{{ - 4}}{{ - 1}} = 4\)
Vậy \(A = 4\) tại x thỏa mãn: \({x^2} + 3x = 0\).
c) Để \(A = \frac{1}{2}\) thì \(\frac{{ - 4}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 4.2 = x + 2\\x + 2 = - 8\\x = - 10\end{array}\)
Vậy \(x = - 10\) thì \(A = \frac{1}{2}\).
d) Đề A nguyên dương thì \(\frac{{ - 4}}{{x + 2}}\) nguyên dương \( \Rightarrow - 4 \vdots \left( {x + 2} \right)\) và \(x + 2 < 0\) hay \(\left( {x + 2} \right) \in \) Ước nguyên âm của -4.
Mà Ước âm của -4 là: \(\left\{ { - 1; - 2; - 4} \right\}\)
Ta có bảng giá trị sau:
Vậy các giá trị của x để A nguyên dương là: \(x \in \left\{ { - 6; - 4; - 3} \right\}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?
Với điều kiện nào của x thì phân thức \(\frac{{x + 2}}{{3 - x}}\) xác định
Rút gọn phân thức \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\) được kết quả bằng
Thực hiện phép tính \(\frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{1 - y}}{{y - x}}\) ta được kết quả là
Kết quả phép tính \(\frac{{5x + 2}}{{3x{y^2}}}:\frac{{10x + 4}}{{{x^2}y}}\) là
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = {60^0},AB = 4cm,AC = 6cm\); \(\Delta MNP\) có \(\widehat N = {60^0},MN = 3cm,NP = 2cm\). Cách viết nào sau đây đúng?
Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Biết AB = 16cm, CD = 40 cm. Khi đó $\Delta AIB\backsim \Delta CID$ với tỉ số là:
Tính chiểu cao của bức tường hình bên biết chiều cao của thang là 4m và chân thang cách tường là 1m.
Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do tăng năng suất lao động, mỗi ngày tổ sản xuất đó làm được nhiều hơn kế hoạch 10 sản phẩm. Gọi x (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ sản xuất phải làm trong mỗi ngày theo kế hoạch (\(x \in \mathbb{N}*;x < 600\)).
a) Viết biểu thức biểu thị theo x thời gian tổ sản xuất hoàn thành công việc trước kế hoạch.
b) Giả sử mỗi ngày họ dự định làm 40 sản phẩm. Hãy tính thời gian tổ hoàn thành công việc trước kế hoạch.
Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố cần thiết để tính chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia sông (hình vẽ bên). Biết \(BB' = 20\)m, \(BC = 30\)m và \(B'C' = 40\)m. Tính độ rộng \(x\) của khúc sông.
Cho \(\Delta ABC\) có AB = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt tại D, E.
a) Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$.
b) Tính độ dài các cạnh của \(\Delta MDC\).
c) Tính độ dài BE, EC.
