Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^{2020}} + x - 2}}{{\sqrt {2021x + 1} - \sqrt {x + 2021} }}}&{{\rm{ khi }}x \ne 1}\\a&{{\rm{ khi }}x = 1}\end{array}} \right.\). Khi hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(a = \frac{m}{{1010}}\sqrt n \) trong đó \(m\) và \(n\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính \(2n - m\).
-
A.
2021
-
B.
2023
-
C.
2024
-
D.
2022
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
\({x^n} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + \ldots + x + 1 + 1} \right)\)
+ Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{2020}} + x - 2}}{{\sqrt {2021x + 1} - \sqrt {x + 2021} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\left( {{x^{2020}} - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right]\left( {\sqrt {2021x + 1} + \sqrt {x + 2021} } \right)}}{{\left( {2021x + 1} \right) - \left( {x + 2021} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2019}} + {x^{2018}} + \ldots + x + 1 + 1} \right)\left( {\sqrt {2021x + 1} + \sqrt {x + 2021} } \right)}}{{2020\left( {x - 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{2019}} + {x^{2018}} + \ldots + x + 1 + 1} \right)\left( {\sqrt {2021x + 1} + \sqrt {x + 2021} } \right)}}{{2020}}\)
\( = \frac{{2021}}{{2020}} \cdot 2 \cdot \sqrt {2022} = \frac{{2021}}{{1010}}\sqrt {2022} \).
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a = \frac{{2021}}{{1010}}\sqrt {2022} \).
Vậy \(m = 2021,n = 2022\). Do đó \(2n - m = 2.2022 - 2021 = 2023\).
Đáp án : B
Danh sách bình luận