Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^{2020}} + x - 2}}{{\sqrt {2021x + 1} - \sqrt {x + 2021} }}}&{{\rm{ khi }}x \ne 1}\\a&{{\rm{ khi }}x = 1}\end{array}} \right.\). Khi hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(a = \frac{m}{{1010}}\sqrt n \) trong đó \(m\) và \(n\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính \(2n - m\).
-
A.
2021
-
B.
2023
-
C.
2024
-
D.
2022
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
\({x^n} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + \ldots + x + 1 + 1} \right)\)
+ Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{2020}} + x - 2}}{{\sqrt {2021x + 1} - \sqrt {x + 2021} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\left( {{x^{2020}} - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right]\left( {\sqrt {2021x + 1} + \sqrt {x + 2021} } \right)}}{{\left( {2021x + 1} \right) - \left( {x + 2021} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2019}} + {x^{2018}} + \ldots + x + 1 + 1} \right)\left( {\sqrt {2021x + 1} + \sqrt {x + 2021} } \right)}}{{2020\left( {x - 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{2019}} + {x^{2018}} + \ldots + x + 1 + 1} \right)\left( {\sqrt {2021x + 1} + \sqrt {x + 2021} } \right)}}{{2020}}\)
\( = \frac{{2021}}{{2020}} \cdot 2 \cdot \sqrt {2022} = \frac{{2021}}{{1010}}\sqrt {2022} \).
+ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a = \frac{{2021}}{{1010}}\sqrt {2022} \).
Vậy \(m = 2021,n = 2022\). Do đó \(2n - m = 2.2022 - 2021 = 2023\).
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục tại điểm \(x = 1\):
Chọn phát biểu đúng:
Chọn câu trả lời đúng nhất:
Chọn phát biểu sai:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 4} \). Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I). \(f\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 2\).
(II). \(f\left( x \right)\)gián đoạn tại \(x = 2\).
(III). \(f\left( x \right)\)liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;\,2} \right]\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 2}}\). Chọn phát biểu đúng về \(f\left( x \right)\):
Chọn giá trị \(f(0)\) để các hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{{x(x + 1)}}\)liên tục tại điểm \(x = 0\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2}{\rm{ }},x > 1\\{x^2} + 8{\rm{ }},x < 1\\{k^2}{\rm{ , }}x = 1\end{array} \right.\). Tìm \(k\) để \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x = 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\,\,\,\,\,\,x \ne 0\\a + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0\end{array} \right.\). Tìm \(a\) để \(f\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 0.\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2{\rm{ khi }}x > 1\\3{x^2} + x - 1{\rm{ khi }}x \le 1\end{array} \right.\) Khẳng định nào sau đây đúng nhất:
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 1 + \sqrt[3]{{x - 1}}}}{x}{\rm{ khi }}x \ne 0\\ \frac{4}{3}{\rm{ khi }}x = 0\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất :
Tìm \(a\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1\\\frac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}}{\rm{ khi }}x \le 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\)
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\left( I \right)\): \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 1}}\) liên tục với mọi \(x \ne 1\).
\(\left( {II} \right)\): \(f\left( x \right) = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(\left( {III} \right)\): \(f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}\) liên tục tại \(x = 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}{\rm{ , }}0 < x < 9\\m{\rm{ , }}x = 0\\\frac{3}{x}{\rm{ , }}x \ge 9\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên
\(\left[ {0; + \infty } \right)\) là.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\). Khi đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\tan x}}{x}{\rm{ , }}x \ne 0 \cap x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\0{\rm{ , }}x = 0\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\left( I \right)\) \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.
\(\left( {II} \right)\)\(f\left( x \right)\) không liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) \ge 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.
\(\left( {III} \right)\) \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;\,b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
\(\left( {IV} \right)\) \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left( {a;b} \right]\) và trên \(\left[ {b;c} \right)\) nhưng không liên tục \(\left( {a;\,c} \right)\)
Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}{\rm{ khi }}x \ne 1\\3m - 2{\rm{ khi }}x = 1\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}{\rm{ khi }}x > 0\\2{x^2} + 3m + 1{\rm{ khi }}x \le 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4} + 3{\rm{ khi }}x \ge 2\\\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}{\rm{ khi }}x < 2\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)