Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}{\rm{ khi }}x > 0\\2{x^2} + 3m + 1{\rm{ khi }}x \le 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
-
A.
\(m = - \frac{1}{6}\)
-
B.
\(m = \frac{1}{6}\)
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
\(m = - 6\)
Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x){\rm{ khi }}x \ge {x_0}\\{f_2}(x){\rm{ khi }}x < {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại một số điểm của khoảng đó
Ta có:
Với \(x > 0\) ta có \(f(x) = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}\) nên hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Với \(x < 0\) ta có \(f(x) = 2{x^2} + 3m + 1\) nên hàm số liên tục trên \(( - \infty ;0)\)
Do đó hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \(x = 0\)
Ta có: \(f(0) = 3m + 1\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \frac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2{x^2} + 3m + 1} \right) = 3m + 1\end{array}\)
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{6}\)
Vậy \(m = - \frac{1}{6}\) thì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đáp án : A
