Giải mục 3 trang 23, 24 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đường tiệm cận xiên

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ3
LT3

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(y = x - 1\) như Hình 1.24.

a) Với \(x > - 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = x - 1\). Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?

b) Chứng tỏ rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\). Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi \(x \to + \infty \) thì khoảng cách MH tiến tới 0.

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0\)

Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng \(y = x - 1\) tiến đến 0 khi \(x \to + \infty \).

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - \infty \)

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\)

Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - x + 3 - \frac{1}{{1 - x}}\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(y = - x + 3\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 1.16 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Hình 1.26 là đồ thị của hàm số (y = fleft( x right) = frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}) Sử dụng đồ thị này, hãy: a) Viết kết quả của các giới hạn sau: (mathop {lim }limits_{x to - infty } fleft( x right)); (mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right)); (mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} fleft( x right)); (mathop {lim }limits_{x to - {1^ + }} fleft( x right)) b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
Giải bài tập 1.17 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đường thẳng \(x = 1\) có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\) không?
Giải bài tập 1.18 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\); b) \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\).
Giải bài tập 1.19 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là \(C\left( x \right) = 2x + 50\) (triệu đồng). Khi đó, \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\). Tính chất này nói lên điều gì?
Giải bài tập 1.20 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng \(144{m^2}\). Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m). a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) (mét) của mảnh vườn. b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x).
Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đường tiệm cận đứng
Giải mục 1 trang 20, 21 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đường tiệm cận ngang
Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Kết nối tri thức
1. Đường tiệm cận ngang