Giải bài 8 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn: a) \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ...\) b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)

Đề bài

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:

a) \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ...\)

b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính tổng: Cấp số nhân vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là: \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết

a) Tổng trên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{{ - 1}}{5}\) nên \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ... = \frac{1}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{5}{6}\)

b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)\( = 2\left[ {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + ...} \right]\)

Tổng \(1 + \frac{2}{3} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + ...\) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{2}{3}\)

Do đó, \(2\left[ {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + ...} \right] = 2.\frac{1}{{1 - \frac{2}{3}}} = 6\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 9 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số: a) \(0,\left( 7 \right) = 0,777...\); b) \(1,\left( {45} \right) = 1,454545...\)
Giải bài 10 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với \(100{m^3}\) ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?
Giải bài 11 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tam giác \(O{A_1}{A_2}\) vuông cân tại \({A_2}\) có cạnh huyền \(O{A_1}\) bằng a. Bên ngoài tam giác \(O{A_1}{A_2}\), vẽ tam giác \(O{A_2}{A_3}\) vuông cân tại \({A_3}\). Tiếp theo, bên ngoài tam giác \(O{A_2}{A_3}\), vẽ tam giác \(O{A_3}{A_4}\) vuông cân tại \({A_4}\). Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...\)
Giải bài 12 trang 77 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tam giác OMN vuông cân tại O, \(OM = ON = 1\). Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông \(O{A_1}{B_1}{C_1}\) sao cho các đỉnh \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác \({A_1}M{B_1}\), vẽ hình vuông \({A_1}{A_2}{B_2}{C_2}\) sao cho các đỉnh \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt nằm trên các cạnh \({A_1}M,M{B_1},{A_1}{B_1}\). Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.
Giải bài 13 trang 77 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng \(d:x + y = 2\) cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng \({d_n}:y = \frac{{2n + 1}}{n}x\) tại điểm \({P_n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\). Kí hiệu \({S_n}\) là diện tích của tam giác \(OA{P_n}\). Tính \(\lim {S_n}\).
Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tùy theo giá trị của \(a > 0\), tìm giới hạn \(\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}\).
Giải bài 6 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \left( {1 + 3n - {n^2}} \right)\); b) \(\lim \frac{{{n^3} + 3n}}{{2n - 1}}\); c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} + n} \right)\); d) \(\lim \left( {{3^{n + 1}} - {5^n}} \right)\).
Giải bài 5 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(n{u_n} = 3\). Tìm giới hạn \(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}}\).
Giải bài 4 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = 3,\lim {v_n} = 4\). Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \left( {3{u_n} - 4} \right)\); b) \(\lim \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right)\); c) \(\lim {\left( {{u_n} - {v_n}} \right)^2}\); d) \(\lim \frac{{ - 2{u_n}}}{{{v_n} - 2{u_n}}}\).
Giải bài 3 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\); b) \(\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\); c) \(\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\); d) \(\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\).
Giải bài 2 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}\); b) \(\lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}\); c) \(\lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}}\); d) \(\lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}\); e) \(\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\); g) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}\).
Giải bài 1 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \left( {2 + \frac{5}{n}} \right)\); b) \(\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)\); c) \(\lim \left( {3 - \frac{4}{n}} \right)\left( {2 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)\); d) \(\lim \frac{{3 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}}\).