Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.} \)

Lời giải chi tiết:

Xét khai triển: \({\left( {x + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}.} \)

Xét  khai triển: \({\left( {x + 1} \right)^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k{x^k}}  = C_{2n + 1}^0{x^0} + C_{2n + 1}^1{x^1} + ..... + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.\)

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n + 1}\\C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\.....\\C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1}\end{array} \right. \Rightarrow C_{2n + 1}^0{x^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{x^{2n}} + ..... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2\left( {C_{2n + 1}^0{x^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{x^{2n}} + .... + C_{2n + 1}^n} \right)\)

Chọn \(x = 1\) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ..... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + .... + C_{2n + 1}^n} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + .... + C_{2n + 1}^n} \right)\\ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + .... + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}.\end{array}\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ....... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1\\ \Leftrightarrow 1 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ....... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}}\\ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ....... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}}\\ \Rightarrow {2^{2n}} = {2^{20}} \Leftrightarrow 2n = 20 \Leftrightarrow n = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) hệ số chứa \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {x + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^k}} \) là: \(C_{10}^3 = 120.\)

Chọn D.