Phương pháp giải:

+ Áp dụng tính chất \(\left| A \right|\ge 0\) với mọi \(A\in \mathbb{Z}\) và tính chất của bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

+ Xét dấu bằng xảy ra để tìm giá trị x, y.

Lời giải chi tiết:

\(A=\left| x-2 \right|+\left| y+5 \right|-10\)

Ta có:  \(\left| x-2 \right|\ge 0\,\forall x\in \mathbb{Z}\)  và \(\left| y+5 \right|\ge 0\,\forall y\in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\left| x-2 \right|+\left| y+5 \right|\ge 0\,\ \forall x,y\in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\left| x-2 \right|+\left| y+5 \right|-10\ge -10\,\ \forall x,y\in \mathbb{Z}\) hay \(A\ge -10\ \,\forall x,y\in \mathbb{Z}\) .

Dấu bằng xảy ra khi \(\left| x-2 \right|=0\) và \(\left| y+5 \right|=0\) suy ra \(x=2\) và \(y=-5\) .

Vậy giá trị nhỏ nhất của của A bằng -10 khi \(x=2\) và \(y=-5\)

Chọn A